Bài tự luận · Bài 10
Dạng 3. Tính giá trị của biểu thức lượng giác
Bài tự luận Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° · Bài 10
(KNTT10) Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $A=\sin45^{\circ}\cdot\cos135^{\circ}+\cos60^{\circ}\cdot\sin150^{\circ}-\cos30^{\circ}\cdot\sin120^{\circ}$;
b) $B=\tan135^{\circ}+\cot60^{\circ}\cdot\cot30^{\circ}-\tan60^{\circ}\cdot\tan150^{\circ}$;
c) $C=2\sin60^{\circ}\cdot\tan150^{\circ}-\cos180^{\circ}\cdot\cot45^{\circ}$.
a) $A=\sin45^{\circ}\cdot\cos135^{\circ}+\cos60^{\circ}\cdot\sin150^{\circ}-\cos30^{\circ}\cdot\sin120^{\circ}$;
b) $B=\tan135^{\circ}+\cot60^{\circ}\cdot\cot30^{\circ}-\tan60^{\circ}\cdot\tan150^{\circ}$;
c) $C=2\sin60^{\circ}\cdot\tan150^{\circ}-\cos180^{\circ}\cdot\cot45^{\circ}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta thấy $\sin45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}=-\cos135^{\circ}$, $\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}=\sin150^{\circ}$ và $\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin120^{\circ}$.
Từ đó suy ra $A=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-1$.
b) Do $\tan135^{\circ}=-1$, $\cot60^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\cot30^{\circ}=\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$, $\tan150^{\circ}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $B=-1+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{3}-\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=1$.
c) Cũng từ Bảng $3.1$, $\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan150^{\circ}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\cos180^{\circ}=-1$ và $\cot45^{\circ}=1$. Suy ra
$C=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)-(-1)\cdot1=0$.
Chú ý. Nếu để ý đến mối liên hệ giữa các góc có trong biểu thức, như các góc bù nhau, các góc phụ nhau, thì ta có thể giải bài toán theo cách sau:
a) Do $135^{\circ}=180^{\circ}-45^{\circ}$, $150^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ}$, $120^{\circ}=180^{\circ}-60^{\circ}$ nên
$A=\sin45^{\circ}\cdot\left(-\cos45^{\circ}\right)+\cos60^{\circ}\cdot\sin30^{\circ}-\cos30^{\circ}\cdot\sin60^{\circ}$
$=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-1$.
b) Do $135^{\circ}=180^{\circ}-45^{\circ}$, $60^{\circ}=90^{\circ}-30^{\circ}$, $150^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ}$ nên
$B=-1+1-\tan60^{\circ}\cdot\left(-\tan30^{\circ}\right)=1$.
c) Do $150^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ}$ nên
$C=2\sin60^{\circ}\cdot\left(-\tan30^{\circ}\right)-\cos180^{\circ}\cdot\cot45^{\circ}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)-(-1)\cdot1=0$.
Từ đó suy ra $A=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-1$.
b) Do $\tan135^{\circ}=-1$, $\cot60^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\cot30^{\circ}=\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$, $\tan150^{\circ}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $B=-1+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{3}-\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=1$.
c) Cũng từ Bảng $3.1$, $\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan150^{\circ}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\cos180^{\circ}=-1$ và $\cot45^{\circ}=1$. Suy ra
$C=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)-(-1)\cdot1=0$.
Chú ý. Nếu để ý đến mối liên hệ giữa các góc có trong biểu thức, như các góc bù nhau, các góc phụ nhau, thì ta có thể giải bài toán theo cách sau:
a) Do $135^{\circ}=180^{\circ}-45^{\circ}$, $150^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ}$, $120^{\circ}=180^{\circ}-60^{\circ}$ nên
$A=\sin45^{\circ}\cdot\left(-\cos45^{\circ}\right)+\cos60^{\circ}\cdot\sin30^{\circ}-\cos30^{\circ}\cdot\sin60^{\circ}$
$=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-1$.
b) Do $135^{\circ}=180^{\circ}-45^{\circ}$, $60^{\circ}=90^{\circ}-30^{\circ}$, $150^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ}$ nên
$B=-1+1-\tan60^{\circ}\cdot\left(-\tan30^{\circ}\right)=1$.
c) Do $150^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ}$ nên
$C=2\sin60^{\circ}\cdot\left(-\tan30^{\circ}\right)-\cos180^{\circ}\cdot\cot45^{\circ}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)-(-1)\cdot1=0$.