(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An 2025) Cho tứ diện đều $ ABCD $ có cạnh bằng 1. Gọi $ I $ là trung điểm của cạnh $ CD $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AC $ và $ BI $ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi $ O $ là trọng tâm của tam giác $ BCD $, ta có $ AO⊥\left ( { BCD } \right ) $.$ AO=\sqrt[] { AB ^ { 2 } -BO ^ { 2 } }=\sqrt[] { 1 ^ { 2 } -\left ( { \frac { 2 } { 3 }.1.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 3 } $. Kẻ đường thẳng $ d $ qua $ C $ và song song với $ BI $. Kẻ $ OM⊥d $, $ M\in d $. Khi đó $ d\left ( { AC,BI } \right )=d\left ( { BI,\left ( { ACM } \right ) } \right )=d\left ( { O,\left ( { ACM } \right ) } \right ) $. Kẻ $ OH⊥AM $, $ H\in AM $. (1) Ta có: $ AO⊥\left ( { BCD } \right )⇒AO⊥CM $ mà $ OM⊥CM ⇒CM⊥\left ( { AOM } \right )⇒CM⊥OH $. (2) Từ (1) và (2) ta có: $ OH⊥\left ( { ACM } \right )⇒d\left ( { O,\left ( { ACM } \right ) } \right )=OH $. Ta có: $ \frac { 1 } { OH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OM ^ { 2 } } $. Mặt khác $ BI $//$ CM $, $ CD⊥BI⇒CD⊥CM $ hay tứ giác $ CIOM $ là hình chữ nhật. $ ⇒OM=CI=\frac { 1 } { 2 } $. $ ⇒\frac { 1 } { OH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OM ^ { 2 } }=\frac { 1 } { \left ( { \frac { \sqrt[] { 6 } } { 3 } } \right ) ^ { 2 } }+\frac { 1 } { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 11 } { 2 }. $ $ ⇒OH≈0,43 $