Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$, gọi $M$ là trung điểm của $B'C'$. Xét tính đúng - sai của các phát biểu sau:

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai Lời giải a) Góc giữa hai đường thẳng $AA'$ và $C'D'$: Ta có $A'B' \parallel C'D'$ nên $\Big( AA', C'D' \Big) = \Big( AA', A'B' \Big) = \widehat{AA'B'} = 90^\circ$. b) Ta có $A'B' \parallel AB$ nên $\Big( A'M, AB \Big) = \Big( A'B', A'M \Big) = \widehat{MA'B'}$. Tam giác $A'B'M$ vuông tại $B'$ nên $\tan\Big( A'M, AB \Big) = \frac{B'M}{A'B'} = \frac{1}{2}$. c) Giả sử cạnh của hình lập phương là $a > 0$. Sử dụng định lý đảo Pythagore chứng minh tam giác $BC'D'$ là tam giác vuông tại $C'$. d) Gọi $N$ là trung điểm đoạn thẳng $BB'$. Khi đó, $MN \parallel BC'$ nên $\Big( AM, BC' \Big) = \Big( AM, MN \Big)$. Xét tam giác $A'B'M$ vuông tại $B'$ ta có: $$ A'M = \sqrt{A'B'^{2} + B'M^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} $$ Xét tam giác $AA'M$ vuông tại $A'$ ta có: $$ AM = \sqrt{AA'^{2} + A'M^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{5a^{2}}{4}} = \frac{3a}{2} $$ Có $AN = A'M = \frac{a\sqrt{5}}{2}$; $MN = \frac{BC'}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Trong tam giác $ AMN $ ta có: $ \cos \widehat { AMN } =\frac { MA ^ { 2 } +MN ^ { 2 } -AN ^ { 2 } } { 2.MA.MN } =\frac { \frac { 9a ^ { 2 } } { 4 }+\frac { 2a ^ { 2 } } { 4 }-\frac { 5a ^ { 2 } } { 4 } } { 2.\frac { 3a } { 2 }.\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } } =\frac { 6a ^ { 2 } } { 4 }.\frac { 4 } { 6a ^ { 2 } \sqrt[] { 2 } } =\frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } } $. Suy ra $ \widehat { AMN }=45° $. Vậy $ \left ( { AM,BC' } \right )=\left ( { AM,MN } \right ) = \widehat { AMN }=45° $.