Bài tập nâng cao · Bài 43
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 43
Tìm $m$ để hàm số $y=\frac{\left( m+1 \right)x^{3}}{3}-\left( m+1 \right)x^{2}+\left( 3m+2 \right)x+1$ có $y'\leq 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
Xem lời giải
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
$y'=\left( m+1 \right)x^{2}-2\left( m+1 \right)x+\left( 3m+2 \right)$
TH1: Nếu $m=-1$, suy ra $y'=-1 < 0$ $\forall x\in \mathbb{R}$ ( thoả đk)
TH2: Nếu $m\neq -1$
Để hàm số luôn có $y'\leq 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ thì $\left\{ \begin{array}{l} m+1 < 0 \\ \Delta '=\left( m+1 \right)^{2}-\left( m+1 \right)\left( 3m+2 \right)\leq 0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < -1 \\ m\in \left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ -\frac{1}{2};+\infty \right) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow m < -1$
Vậy $m\leq -1$ thoả điều kiện bài toán.
$y'=\left( m+1 \right)x^{2}-2\left( m+1 \right)x+\left( 3m+2 \right)$
TH1: Nếu $m=-1$, suy ra $y'=-1 < 0$ $\forall x\in \mathbb{R}$ ( thoả đk)
TH2: Nếu $m\neq -1$
Để hàm số luôn có $y'\leq 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ thì $\left\{ \begin{array}{l} m+1 < 0 \\ \Delta '=\left( m+1 \right)^{2}-\left( m+1 \right)\left( 3m+2 \right)\leq 0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < -1 \\ m\in \left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ -\frac{1}{2};+\infty \right) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow m < -1$
Vậy $m\leq -1$ thoả điều kiện bài toán.