Bài tập nâng cao · Bài 31
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 31
Biết rằng $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { { \rm{ d } }x } { x+\sqrt[] { 3x+1 }+1 } }=aln2+bln3+c $, với $ a $, $ b $, $ c $ là các số hữu tỷ. Giá trị của $ a+b+c $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Xét $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { { \rm{ d } }x } { x+\sqrt[] { 3x+1 }+1 } } $
Đặt $ \sqrt[] { 3x+1 }=t \Rightarrow x=\frac { t ^ { 2 } -1 } { 3 } \Rightarrow { \rm{ d } }x=\frac { 2 } { 3 }t{ \rm{ d } }t $
Với $ x=0 \Rightarrow t=1 $
$ x=1 \Rightarrow t=2 \Rightarrow I=\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { \frac { 2 } { 3 }t{ \rm{ d } }t } { \frac { t ^ { 2 } -1 } { 3 }+t+1 } }=2\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { t{ \rm{ d } }t } { t ^ { 2 } +3t+2 } }=2\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 2 } { t+2 }-\frac { 1 } { t+1 } } \right ){ \rm{ d } }t }=2\left ( { 2ln\left | { t+2 } \right |-ln\left | { t+1 } \right | } \right )\left | { 2 \\ 1 } \right . =10ln2-6ln3 $.
Do đó $ a=10 $; $ b=-6 $; $ c=0 $. Khi đó $ a+b+c=4 $.
Đặt $ \sqrt[] { 3x+1 }=t \Rightarrow x=\frac { t ^ { 2 } -1 } { 3 } \Rightarrow { \rm{ d } }x=\frac { 2 } { 3 }t{ \rm{ d } }t $
Với $ x=0 \Rightarrow t=1 $
$ x=1 \Rightarrow t=2 \Rightarrow I=\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { \frac { 2 } { 3 }t{ \rm{ d } }t } { \frac { t ^ { 2 } -1 } { 3 }+t+1 } }=2\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { t{ \rm{ d } }t } { t ^ { 2 } +3t+2 } }=2\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 2 } { t+2 }-\frac { 1 } { t+1 } } \right ){ \rm{ d } }t }=2\left ( { 2ln\left | { t+2 } \right |-ln\left | { t+1 } \right | } \right )\left | { 2 \\ 1 } \right . =10ln2-6ln3 $.
Do đó $ a=10 $; $ b=-6 $; $ c=0 $. Khi đó $ a+b+c=4 $.