Bài tập nâng cao Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Bài 12

Ta có $\sin\widehat{\left( SB;\,\left( SAC \right) \right)}=\frac{d\left( B;\,\left( SAC \right) \right)}{SB}$$=\frac{d\left( D;\,SAC \right)}{SB}$.
Xét tam giác $ABC$ ta có $AC=\sqrt{BA^{2}+BC^{2}-2BA.BC.\cos\widehat{ABC}}$$=a\sqrt{7}$.
$BO=\sqrt{\frac{BA^{2}+BC^{2}}{2}-\frac{AC^{2}}{4}}$$=\sqrt{\frac{4a^{2}+a^{2}}{2}-\frac{7a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow BD=a\sqrt{3}$ và $SB=\sqrt{SD^{2}+BD^{2}}$$=\sqrt{3a^{2}+3a^{2}}$$=a\sqrt{6}$.
Xét tam giác $ADC$ ta có $\frac{AD}{\sin\widehat{C}}=\frac{AC}{\sin\widehat{D}}$$\Rightarrow \sin\widehat{C}=\frac{AD.\sin\widehat{D}}{AC}$$=\frac{a.\sin120^{\circ}}{a\sqrt{7}}$$=\frac{\sqrt{21}}{14}$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $D$ lên $AC$, và $I$ là hình chiếu của $D$ lên $SK$. Ta có $\left\{ \begin{array}{l} AC\perp DK \\ AC\perp SD \end{array} \right.\Rightarrow AC\perp DI$. Do đó $\left\{ \begin{array}{l} DI\perp SK \\ DI\perp AC \end{array} \right.$$\Rightarrow d\left( D;\,\left( SAC \right) \right)=DI$.
Mặt khác $\sin\widehat{C}=\frac{DK}{DC}$$\Rightarrow DK=DC.\sin\widehat{C}$$=2a.\frac{\sqrt{21}}{14}$$=\frac{a\sqrt{21}}{7}$.
Xét tam giác $SDK$ ta có $DI=\frac{SD.DK}{\sqrt{SD^{2}+DK^{2}}}$$=\frac{a\sqrt{3}.\frac{a\sqrt{21}}{7}}{\sqrt{3a^{2}+\frac{21}{49}a^{2}}}$$=\frac{\sqrt{6}}{4}a$.
Vậy $\sin\widehat{\left( SB;\,\left( SAC \right) \right)}=\frac{d\left( D;\,SAC \right)}{SB}$$=\frac{DI}{SB}$$=\frac{\frac{\sqrt{6}}{4}a}{a\sqrt{6}}$$=\frac{1}{4}$.
Trong mặt phẳng $\left( SDK \right)$ kẻ $DI\perp SK$ suy ra $d\left( D;\,\left( SAC \right) \right)=DI$.