Bài tập nâng cao Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Bài 11

Gọi $E$, $F$ lần lượt là trung điểm $SO$,$OB$ thì $EF$ là hình chiếu của $MN$ trên $\left( SBD \right)$.
Gọi $P$ là trung điểm $OA$ thì $PN$ là hình chiếu của $MN$ trên $\left( ABCD \right)$.
Theo bài ra: $\widehat{MNP}=60^{\circ}$.
Áp dụng định lý cos trong tam giác $CNP$ ta được:
$NP^{2}=CP^{2}+CN^{2}-2CP.CN.\cos45^{\circ}$$=\left( \frac{3a\sqrt{2}}{4} \right)^{2}+\frac{a^{2}}{4}-2.\frac{3a\sqrt{2}}{4}.\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5a^{2}}{8}$.
Suy ra: $NP=\frac{a\sqrt{10}}{4}$, $MP=NP.\tan60^{\circ}=\frac{a\sqrt{30}}{4}$; $SO=2MP=\frac{a\sqrt{30}}{2}$.
$SB=\sqrt{SO^{2}+OB^{2}}=2a\sqrt{2}$$\Rightarrow EF=a\sqrt{2}$.
Ta lại có: $MENF$ là hình bình hành ( vì $ME$ và $NF$ song song và cùng bằng $\frac{1}{2}OA$).
Gọi $I$ là giao điểm của $MN$ và $EF$, khi đó góc giữa $MN$ và mặt phẳng $\left( SBD \right)$ là $\widehat{NIF}$.
$\cos\widehat{NIF}=\frac{IF}{IN}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{4}{a\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.