(Sở Bắc Ninh 2025) Nhịp tim của một vận động viên chạy sau t giây $ \left ( { t\geq 0 } \right ) $kể từ khi rời vạch xuất phát được cho bởi công thức $ P\left ( { t } \right )=\frac { 300.\sqrt[] { \frac { 1 } { 2 }t ^ { 2 } +2t+25 } } { t+25 } $ (số nhịp tim/ phút). Biết rằng, với vận động viên đó bác sĩ đã đưa ra lời khuyên không nên đẩy nhịp tim quá 175 (số nhịp tim/ phút) để tránh tình trạng quá tải cho tim.

a) Đúng. Ta có: $ P\left ( { t } \right )=\frac { 300.\sqrt[] { \frac { 1 } { 2 }t ^ { 2 } +2t+25 } } { t+25 } $(số nhịp tim/ phút) $ \Rightarrow P'\left ( { t } \right )=\frac { 300.\frac { t+2 } { 2.\sqrt[] { \frac { 1 } { 2 }t ^ { 2 } +2t+25 } }.\left ( { t+25 } \right )-300.\sqrt[] { \frac { 1 } { 2 }t ^ { 2 } +2t+25 } } { \left ( { t+25 } \right ) ^ { 2 } } $ $ =\frac { 150.\left ( { t+2 } \right ).\left ( { t+25 } \right )-\left ( { 150t ^ { 2 } +600t+7500 } \right ) } { \left ( { t+25 } \right ) ^ { 2 } .\sqrt[] { \frac { 1 } { 2 }t ^ { 2 } +2t+25 } } $ $ =\sqrt[] { 2 }.\frac { \left ( { 150.t ^ { 2 } +4050t+7500 } \right )-\left ( { 150t ^ { 2 } +600t+7500 } \right ) } { \left ( { t+25 } \right ) ^ { 2 } .\sqrt[] { t ^ { 2 } +4t+50 } }=\frac { 3450\sqrt[] { 2 }t } { \left ( { t+25 } \right ) ^ { 2 } .\sqrt[] { t ^ { 2 } +4t+50 } } $ Xét hàm số trên $ \left[ 0;60 \right] $ thấy$ \mathop { { \rm{ Max } } } \limits_{ \left[ 0;60 \right] } f(t) < 150\sqrt[] { 2 } $ b) Sai. Xét hàm số $ P\left ( { t } \right )=\frac { 300.\sqrt[] { \frac { 1 } { 2 }t ^ { 2 } +2t+25 } } { t+25 } $ trên đoạn $ \left[ 0;20 \right] $. Ta có $ P'\left ( { t } \right )=\frac { 3450\sqrt[] { 2 }t } { \left ( { t+25 } \right ) ^ { 2 } .\sqrt[] { t ^ { 2 } +4t+50 } }\geq 0 $, $ ∀t\in \left[ 0;20 \right] $; $ P'\left ( { t } \right )=0\Leftrightarrow t=0 $. Hàm số đồng biến trên $ \left[ 0;20 \right] $nên $ \mathop { \min } \limits_{ t\in \left[ 0;120 \right] } P\left ( { t } \right )=P\left ( { 0 } \right )=0 $, $ \mathop { { \rm{ \max } } } \limits_{ t\in \left[ 0;120 \right] } P\left ( { t } \right )=P\left ( { 120 } \right )=\frac { 300\sqrt[] { \frac { 1 } { 2 }.120 ^ { 2 } +2.120+25 } } { 120+25 }=\frac { 60\sqrt[] { 7465 } } { 29 }\approx 178,76 $. Vậy nhịp tim của vận động viên trong hai phút đầu tiên có thời điểm vượt quá 175. c) Đúng. Tốc độ thay đổi nhịp tim theo thời gian $ t $ là $ P'\left ( { t } \right )=\left ( { \frac { 300.\sqrt[] { \frac { 1 } { 2 }t ^ { 2 } +2t+25 } } { t+25 } } \right )'=\frac { 3450.\sqrt[] { 2 }t } { \left ( { t+25 } \right ) ^ { 2 } .\sqrt[] { t ^ { 2 } +4t+50 } } $. d) Sai. Tốc độ thay đổi nhịp tim của vận động viên đó tại thời điểm 1,5 phút sau khi xuất phát là $ P'\left ( { 90 } \right )=\frac { 3450\sqrt[] { 2 }.90 } { \left ( { 90+25 } \right ) ^ { 2 } .\sqrt[] { 90 ^ { 2 } +4.90+50 } }=\frac { 108\sqrt[] { 4255 } } { 19573 } $. Tốc độ thay đổi nhịp tim của vận động viên đó tại thời điểm 0,5 phút sau khi xuất phát là $ P'\left ( { 30 } \right )=\frac { 3450\sqrt[] { 2 }.30 } { \left ( { 30+25 } \right ) ^ { 2 } .\sqrt[] { 30 ^ { 2 } +4.30+50 } }=\frac { 828\sqrt[] { 535 } } { 12947 } $. Vì $ \frac { \frac { 108\sqrt[] { 4255 } } { 19573 } } { \frac { 828\sqrt[] { 535 } } { 12947 } }=\frac { 363\sqrt[] { 91057 } } { 450179 }\approx 0,2433 $ nên tốc độ thay đổi nhịp tim của vận động viên đó tại thời điểm 1,5 phút sau khi xuất phát bằng xấp xỉ $ 0,243 $lần tốc độ thay đổi nhịp tim tại thời điểm 0,5 phút sau khi xuất phát.