(Liên trường Vĩnh Phúc 2025) Vào một buổi sáng, bạn Quyết đi xe đạp từ nhà tới trường với vận tốc $ v\left ( { t } \right )=2t ^ { 2 } +t $ (mét/phút) (với $ t $ là thời gian tính bằng phút, kể từ lúc bắt đầu đi).

a) Đúng Vận tốc của Quyết tại thời điểm $ t=10 $ phút là $ v\left ( { 10 } \right )=210 $ mét/phút. b) Sai Quãng đường Quyết đi được trong 5 phút đầu tiên là $ S=\int _{ 0 }^{ 5 } { \left ( { 2t ^ { 2 } +t } \right )dt }=\frac { 575 } { 6 }\approx 96m $. c) Đúng Giả sử Quyết tới trường sau $ a $ phút. Do quãng đường từ nhà tới trường của Quyết là $ 4050m $ nên $ \int _{ 0 }^{ a } { \left ( { 2t ^ { 2 } +t } \right )dt }=4050\Leftrightarrow \left ( { \frac { 2 } { 3 }t ^ { 3 } +\frac { 1 } { 2 }t ^ { 2 } } \right )\left | { \begin{array}{l} a \\ 0 \\ \end{array} =4050\Leftrightarrow a=18 } \right . $. Vậy Quyết tới trường sau $ 18 $ phút. d) Đúng Vận tốc tại thời điểm $ t=12 $ là $ v\left ( { 12 } \right )=300 $ mét/phút. Quãng đường Quyết đi được trong 12 phút đầu tiên là $ \int _{ 0 }^{ 12 } { \left ( { 2t ^ { 2 } +t } \right )dt }=1224m $. Do đó, quãng đường đi được từ lúc thay đổi tốc độ đến khi Quyết đến công trường là $ 50m $. Giả sử từ phút thứ 12 thì Quyết di chuyển chậm dần đều với gia tốc không đổi $ b $(mét/phút2) Vận tốc của Quyết khi di chuyển chậm đều là $ v_{ 1 } \left ( { t } \right )=\int { b\cdot dt }=bt+d $ với $ t\geq 12 $ $ v_{ 1 } \left ( { 12 } \right )=v\left ( { 12 } \right )=300 $ nên $ 12b+d=300\Leftrightarrow d=-12b+300 $$ \Rightarrow v_{ 1 } \left ( { t } \right )=bt-12b+300 $ với $ t\geq 12 $ Vì quãng đường đi được từ lúc thay đổi tốc độ đến khi Quyết đến công trường là $ 50m $ (trong 15 giây = 0,25 phút) nên ta có phương trình $ \int _{ 12 }^{ 12,25 } { \left ( { bt-12b+300 } \right )dt }=50\Leftrightarrow b\cdot \int _{ 12 }^{ 12,25 } { \left ( { t-12 } \right ) }dt=50-\int _{ 12 }^{ 12,25 } { 300 }dt $ $ \Leftrightarrow b=-800 $ $ \Rightarrow v_{ 1 } \left ( { t } \right )=-800t+9900 $ với $ t\geq 12 $ Vậy vận tốc tức thời của Quyết khi tới công trường là $ v_{ 1 } \left ( { 12,25 } \right )=-800\cdot 12,25+9900=100 $mét/phút. Nhận xét: Công thức biểu diễn mối liên hệ giữa a, v và s: Trong chuyển động thẳng biến đổi đều. Công thức liên hệ giữa gia tốc $ a $, vận tốc $ v $ và quãng đường $ s $ là: $ v ^ { 2 } =v_{ 0 } ^{ 2 }+2as $ và $ a=\frac { v-v_{ 0 } } { t-t_{ 0 } } $ Trong đó: $ v $: vận tốc cuối $ v_{ 0 } $: vận tốc ban đầu $ a: $ gia tốc $ s $: quãng đường đi được Gọi $ x $ là vận tốc tức thời của Quyết khi tới công trường. Vì quãng đường đi được từ lúc thay đổi tốc độ đến khi Quyết đến công trường là $ 50m $ (trong 15 giây = 0,25 phút) nên ta có phương trình $ x ^ { 2 } -300 ^ { 2 } =2.\frac { x-300 } { 0,25 }.50\Rightarrow x=100 $ mét/phút.