Bài tự luận · Bài 8
Dạng 2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
Bài tự luận Khoảng cách · Bài 8
(CD11) Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật, $SAB$ là tam giác đều, $(SAB)\perp(ABCD),AB=a,AD=2a$.
a) Chứng minh rằng $CD\parallel(SAB)$. Tính khoảng cách giữa $CD$ và mặt phẳng $(SAB)$.
b) Chứng minh rằng $BC\parallel(SAD)$. Tính khoảng cách giữa $BC$ và mặt phẳng $(SAD)$.
a) Chứng minh rằng $CD\parallel(SAB)$. Tính khoảng cách giữa $CD$ và mặt phẳng $(SAB)$.
b) Chứng minh rằng $BC\parallel(SAD)$. Tính khoảng cách giữa $BC$ và mặt phẳng $(SAD)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $CD\parallel AB,CD\not\subset(SAB)$ và $AB\subset(SAB)$ nên $CD\parallel(SAB)$.
Vì $D\in CD$ nên $d(CD,(SAB))=d(D,(SAB))$. Do $(SAB)\perp(ABCD),(SAB)\cap(ABCD)=AB,DA\subset(ABCD)$ và $DA\perp AB$ nên $DA\perp(SAB)$. Suy ra $d(CD,(SAB))=d(D,(SAB))=DA=2a.$
Vậy khoảng cách giữa $CD$ và mặt phẳng $(SAB)$ bằng $2a$.
b) Vì $BC\parallel AD,BC\not\subset(SAD)$ và $AD\subset(SAD)$ nên $BC\parallel(SAD)$. Vì $B\in BC$ nên $d(BC,(SAD))=d(B,(SAD))$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ trên $SA$. Vì $AD\perp(SAB),AD\subset(SAD)$ nên $(SAD)\perp(SAB)$. Mà $(SAB)\cap(SAD)=SA,BH\subset(SAB)$ và $BH\perp SA$ nên $BH\perp(SAD)$.
Xét tam giác $SAB$ đều có $BH=AB\sin\widehat{BAS}=a\sin 60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Suy ra $d(BC,(SAD))=d(B,(SAD))=BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy khoảng cách giữa $BC$ và mặt phẳng $(SAD)$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.