Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 8
Ngày 04/10/1957, Liên Xô đã phóng thành công vệ tinh nhân tạo đầu tiên vào không gian, vệ tinh mang tên Sputnik I. Vệ tinh đó có quỹ đạo hình elip $(E)$ nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Cho biết khoảng cách xa nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là $7310\,\text{km}$ và khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là $6586\,\text{km}$. Tìm tâm sai của quỹ đạo chuyển động của vệ tinh Sputnik I.
(Nguồn: https://vi.wikipedia.org)
Xem lời giải
Lời giải
Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Trái Đất trùng với tiêu điểm $F_{1}$ của elip $(E)$ và trục $Ox$ đi qua hai tiêu điểm của elip, đơn vị trên các trục toạ độ là kilômét.
Khi đó phương trình của elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>b>0)$.
Gọi toạ độ của vệ tinh là $M(x;y)$ thì khoảng cách giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là $MF_{1}=a-ex$.
Vì $-a\leq x\leq a$ nên $a-ea\leq a-ex\leq a+ea$.
Do đó khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là $a-ea=6586$ (1) và khoảng cách xa nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là $a+ea=7310$ (2).
Cộng theo vế hai phương trình này ta được $2a=13896$, suy ra $a=6948$.
Thay vào phương trình thứ nhất ta được $6948-6948e=6586\Rightarrow e\approx 0,052$.
Vậy tâm sai của quỹ đạo chuyển động của vệ tinh Sputnik I là $0,052$.
