Bài tập nâng cao · Bài 38
Dạng 8. Tìm tham số để hàm số hợp không chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 38
(Sở Hưng Yên 2022) Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm $ f'\left ( { x } \right )=\left ( { x+3 } \right ) ^ { 2 } \left ( { x ^ { 2 } -x } \right ) $ với $ ∀x\in \mathbb{R} $. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $ m $ để hàm số $ y=f\left ( { x ^ { 2 } -6x+m } \right ) $ có 5 điểm cực trị?
Xem lời giải
Lời giải
Xét $ f'\left ( { x } \right )=0\Leftrightarrow \left[ x=-3\left ( { nghiem\,boi\,chan } \right ) \\ x=0 \\ x=1 \right. $
Đặt $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { x ^ { 2 } -6x+m } \right )\Rightarrow g'\left ( { x } \right )=\left ( { 2x-6 } \right ).f'\left ( { x ^ { 2 } -6x+m } \right ) $
$g'(x)=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=3\\x^2-6x+m=-3\ (\text{nghiệm bội chẵn})\\x^2-6x+m=0\ (1)\\x^2-6x+m=1\ (2)\end{array}\right.$
Hàm số $ g\left ( { x } \right ) $ có 5 điểm cực trị
$ \Leftrightarrow $mỗi phương trình (1) và (2) có hai nghiệm phân biệt khác 3
$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 9-m>0 \\ 10-m>0 \\ -9+m\neq 0 \\ -10+m\neq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m < 9 \\ m < 10 \\ m\neq 9 \\ m\neq 10 \end{array} \right.\Leftrightarrow m < 9 $
Mà $ m\in \mathbb{N} ^ { * } \Rightarrow m\in \left \{ \begin{array}{l} 1;\,2;\,3;\,...;\,8 \end{array} \right \} $. Vậy có $ 8 $giá trị $ m $ thỏa mãn bài toán.
Đặt $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { x ^ { 2 } -6x+m } \right )\Rightarrow g'\left ( { x } \right )=\left ( { 2x-6 } \right ).f'\left ( { x ^ { 2 } -6x+m } \right ) $
$g'(x)=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=3\\x^2-6x+m=-3\ (\text{nghiệm bội chẵn})\\x^2-6x+m=0\ (1)\\x^2-6x+m=1\ (2)\end{array}\right.$
Hàm số $ g\left ( { x } \right ) $ có 5 điểm cực trị
$ \Leftrightarrow $mỗi phương trình (1) và (2) có hai nghiệm phân biệt khác 3
$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 9-m>0 \\ 10-m>0 \\ -9+m\neq 0 \\ -10+m\neq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m < 9 \\ m < 10 \\ m\neq 9 \\ m\neq 10 \end{array} \right.\Leftrightarrow m < 9 $
Mà $ m\in \mathbb{N} ^ { * } \Rightarrow m\in \left \{ \begin{array}{l} 1;\,2;\,3;\,...;\,8 \end{array} \right \} $. Vậy có $ 8 $giá trị $ m $ thỏa mãn bài toán.