(Sở Hưng Yên 2022) Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm $ f'\left ( { x } \right )=\left ( { x+3 } \right ) ^ { 2 } \left ( { x ^ { 2 } -x } \right ) $ với $ ∀x\in \mathbb{R} $. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $ m $ để hàm số $ y=f\left ( { x ^ { 2 } -6x+m } \right ) $ có 5 điểm cực trị?

Question

Dạng 8. Tìm tham số để hàm số hợp không chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện (Sở Hưng Yên 2022) Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm $ f'\left ( { x } \right )=\left ( { x+3 } \right ) ^ { 2 } \left ( { x ^ { 2 } -x } \right ) $ với $ ∀x\in \mathbb{R} $. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $ m $ để hàm số $ y=f\left ( { x ^ { 2 } -6x+m } \right ) $ có 5 điểm cực trị?

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Xét $ f'\left ( { x } ight )=0\Leftrightarrow \left[ x=-3\left ( { nghiem\,boi\,chan } ight ) \ x=0 \ x=1 ight. $ Đặt $ g\left ( { x } ight )=f\left ( { x ^ { 2 } -6x+m } ight )\Rightarrow g'\left ( { x } ight )=\left ( { 2x-6 } ight ).f'\left ( { x ^ { 2 } -6x+m } ight ) $ $g'(x)=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=3\x^2-6x+m=-3\ ( ext{nghiệm bội chẵn})\x^2-6x+m=0\ (1)\x^2-6x+m=1\ (2)\end{array} ight.$ Hàm số $ g\left ( { x } ight ) $ có 5 điểm cực trị $ \Leftrightarrow $mỗi phương trình (1) và (2) có hai nghiệm phân biệt khác 3 $ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 9-m>0 \ 10-m>0 \ -9+m eq 0 \ -10+m eq 0 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m < 9 \ m < 10 \ m eq 9 \ m eq 10 \end{array} ight.\Leftrightarrow m < 9 $ Mà $ m\in \mathbb{N} ^ { * } \Rightarrow m\in \left \{ \begin{array}{l} 1;\,2;\,3;\,...;\,8 \end{array} ight \} $. Vậy có $ 8 $giá trị $ m $ thỏa mãn bài toán.

Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 38

Cùng dạng: Bài toán tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện