Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 39

Xét hàm số $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } }.\left ( { 1+\sqrt[] { 1+\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } } \right )-m } \right )=f\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } }+\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }-m } \right ) $.
Ta có $ g'\left ( { x } \right )=\left ( { \frac { x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } } }+\frac { x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } } \right )f'\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } }+\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }-m } \right ) $ với $ ∀x\neq 0 $.
Suy ra $ g'\left ( { x } \right )=0\Leftrightarrow f'\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } }+\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }-m } \right )=0 $
$ \Leftrightarrow \left[ \sqrt[] { x ^ { 2 } }+\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }-m=-1 \\ \sqrt[] { x ^ { 2 } }+\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }-m=0 \\ \sqrt[] { x ^ { 2 } }+\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }-m=1 \right. $$ \Leftrightarrow \left[ \sqrt[] { x ^ { 2 } }+\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }=m-1\,\,\,\,\left ( { 1 } \right ) \\ \sqrt[] { x ^ { 2 } }+\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }=m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left ( { 2 } \right ) \\ \sqrt[] { x ^ { 2 } }+\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }=m+1\,\,\,\,\left ( { 3 } \right ) \right. $.
Đặt $ h\left ( { x } \right )=\sqrt[] { x ^ { 2 } }+\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }\Rightarrow h'\left ( { x } \right )=\frac { x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } } }+\frac { x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } $ với $ ∀x\neq 0 $.
Ta có bảng biến thiên của hàm với $ h\left ( { x } \right ) $ như sau:

Để hàm số $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } }.\left ( { 1+\sqrt[] { 1+\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } } \right )-m } \right ) $ có ít nhất 4 điểm cực trị thì hai trong ba phương trình $ \left ( { 1 } \right ) $, $ \left ( { 2 } \right ) $, $ \left ( { 3 } \right ) $ phải có ít nhất một nghiệm và một phương trình phải có ít nhất hai nghiệm.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi $ m>1 $.