Bài tập nâng cao · Bài 40
Dạng 8. Tìm tham số để hàm số hợp không chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 40
(THPT Phan Châu Trinh - Đà Nẵng 2022) Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm $ f'\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -x,\,\,∀x\in \mathbb{R} $. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $ m $ thuộc đoạn $ \left[ -10;10 \right] $ để hàm số $ y=f\left ( { x ^ { 3 } -mx ^ { 2 } +\left ( { m-2 } \right )x+1 } \right ) $ có đúng 8 cực trị?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ f'\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -x=0\Leftrightarrow \left[ x=0 \\ x=1 \right. $.
Xét hàm số $ y=f\left ( { x ^ { 3 } -mx ^ { 2 } +\left ( { m-2 } \right )x+1 } \right ) $.
Ta có: $ y'=\left ( { 3x ^ { 2 } -2mx+m-2 } \right )f'\left ( { x ^ { 3 } -mx ^ { 2 } +\left ( { m-2 } \right )x+1 } \right ) $
Ta có: $ y'=0\Leftrightarrow \left[ x ^ { 3 } -mx ^ { 2 } +\left ( { m-2 } \right )x+1=0\,\left ( { 1 } \right ) \\ x ^ { 3 } -mx ^ { 2 } +\left ( { m-2 } \right )x+1=1\,\left ( { 2 } \right ) \\ g\left ( { x } \right )=3x ^ { 2 } -2mx+m-2=0\,\left ( { 3 } \right ) \right. $.
Xét phương trình $ \left ( { 1 } \right ) $:
$ x ^ { 3 } -mx ^ { 2 } +\left ( { m-2 } \right )x+1=0\,\Leftrightarrow \left ( { x-1 } \right ).\left[ x ^ { 2 } +\left ( { 1-m } \right )x-1 \right]=0\Leftrightarrow \left[ x=1 \\ h\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +\left ( { 1-m } \right )x-1=0 \right. $
Xét phương trình $ \left ( { 2 } \right ) $:
$ x ^ { 3 } -mx ^ { 2 } +\left ( { m-2 } \right )x+1=1\,\Leftrightarrow x\left ( { x ^ { 2 } -mx+m-2 } \right )=0\Leftrightarrow \left[ x=0 \\ k\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -mx+m-2=0 \right. $
Xét phương trình $ \left ( { 3 } \right ) $:
Ta có $ g\left ( { x } \right )=0 $ luôn có hai nghiệm phân biệt do $ \Delta '_{ g\left ( { x } \right ) } =m ^ { 2 } -3m+6>0,∀m\in \mathbb{R} $.
Yêu cầu bài toán
$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} g\left ( { 1 } \right ).g\left ( { 0 } \right ).h\left ( { 1 } \right ).h\left ( { 0 } \right ).k\left ( { 1 } \right ).k\left ( { 0 } \right )\neq 0 \\ \Delta _{ h } >0 \\ \Delta _{ k } >0 \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m\neq 1 \\ m\neq 2 \\ m ^ { 2 } -2m+5>0,∀m\in \mathbb{R} \\ m ^ { 2 } -4m+8>0,∀m\in \mathbb{R} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m\neq 1 \\ m\neq 2 \end{array} \right. $.
Do tham số $ m $ thuộc đoạn $ \left[ -10;10 \right] $ và $ m\neq 1,m\neq 2 $ nên có 19 giá trị của m thỏa mãn đề bài.
Xét hàm số $ y=f\left ( { x ^ { 3 } -mx ^ { 2 } +\left ( { m-2 } \right )x+1 } \right ) $.
Ta có: $ y'=\left ( { 3x ^ { 2 } -2mx+m-2 } \right )f'\left ( { x ^ { 3 } -mx ^ { 2 } +\left ( { m-2 } \right )x+1 } \right ) $
Ta có: $ y'=0\Leftrightarrow \left[ x ^ { 3 } -mx ^ { 2 } +\left ( { m-2 } \right )x+1=0\,\left ( { 1 } \right ) \\ x ^ { 3 } -mx ^ { 2 } +\left ( { m-2 } \right )x+1=1\,\left ( { 2 } \right ) \\ g\left ( { x } \right )=3x ^ { 2 } -2mx+m-2=0\,\left ( { 3 } \right ) \right. $.
Xét phương trình $ \left ( { 1 } \right ) $:
$ x ^ { 3 } -mx ^ { 2 } +\left ( { m-2 } \right )x+1=0\,\Leftrightarrow \left ( { x-1 } \right ).\left[ x ^ { 2 } +\left ( { 1-m } \right )x-1 \right]=0\Leftrightarrow \left[ x=1 \\ h\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +\left ( { 1-m } \right )x-1=0 \right. $
Xét phương trình $ \left ( { 2 } \right ) $:
$ x ^ { 3 } -mx ^ { 2 } +\left ( { m-2 } \right )x+1=1\,\Leftrightarrow x\left ( { x ^ { 2 } -mx+m-2 } \right )=0\Leftrightarrow \left[ x=0 \\ k\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -mx+m-2=0 \right. $
Xét phương trình $ \left ( { 3 } \right ) $:
Ta có $ g\left ( { x } \right )=0 $ luôn có hai nghiệm phân biệt do $ \Delta '_{ g\left ( { x } \right ) } =m ^ { 2 } -3m+6>0,∀m\in \mathbb{R} $.
Yêu cầu bài toán
$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} g\left ( { 1 } \right ).g\left ( { 0 } \right ).h\left ( { 1 } \right ).h\left ( { 0 } \right ).k\left ( { 1 } \right ).k\left ( { 0 } \right )\neq 0 \\ \Delta _{ h } >0 \\ \Delta _{ k } >0 \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m\neq 1 \\ m\neq 2 \\ m ^ { 2 } -2m+5>0,∀m\in \mathbb{R} \\ m ^ { 2 } -4m+8>0,∀m\in \mathbb{R} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m\neq 1 \\ m\neq 2 \end{array} \right. $.
Do tham số $ m $ thuộc đoạn $ \left[ -10;10 \right] $ và $ m\neq 1,m\neq 2 $ nên có 19 giá trị của m thỏa mãn đề bài.