(Sở Nam Định 2023) Cho hàm số $ y=f(x) $ có đạo hàm $ f΄(x)=(x-1) ^ { 2 } \left ( { x ^ { 2 } -2x } \right ),∀x\in \mathbb{R} $. Tìm giá trị tham số $ m $ để hàm số $ g(x)=f\left ( { x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } +m } \right ) $ có 8 điểm cực trị

Question

Dạng 8. Tìm tham số để hàm số hợp không chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện (Sở Nam Định 2023) Cho hàm số $ y=f(x) $ có đạo hàm $ f΄(x)=(x-1) ^ { 2 } \left ( { x ^ { 2 } -2x } \right ),∀x\in \mathbb{R} $. Tìm giá trị tham số $ m $ để hàm số $ g(x)=f\left ( { x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } +m } \right ) $ có 8 điểm cực trị

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có $g'(x)=(3x^2-6x)f'(x^3-3x^2+m)=3x(x-2)f'(x^3-3x^2+m)$. $g'(x)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x=0\x=2\f'(x^3-3x^2+m)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=0\x=2\x^3-3x^2+m=0\x^3-3x^2+m=2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=0\x=2\x^3-3x^2=-m\x^3-3x^2=-m+2\end{cases}$. Xét $ h(x)=x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } \Rightarrow h΄(x)=3x ^ { 2 } -6x $; $ h΄(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \ x=2 \ \end{array} ight. $ Để hàm số $ g(x) $ có 8 điểm cực trị thì phương trình (1),(2) phải có tổng 6 nghiệm phân biệt khác 0 và 2. Từ bảng biến thiên $ h(x) $ ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} -4 < -m < 0 \ -4 < -m+2 < 0 \ \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 0 < m < 4 \ 2 < m < 6 \ \end{array} \Leftrightarrow 2 < m < 4 \end{array} ight. \end{array} ight. $

Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 41

Cùng dạng: Bài toán tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện