Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 42

$ g\left ( { x } \right )=f\left ( { \left | { x ^ { 3 } +6x } \right |+m } \right )\Rightarrow g′\left ( { x } \right )=\left ( { \left | { x ^ { 3 } +6x } \right |+m } \right )′.f′\left ( { \left | { x ^ { 3 } +6x } \right |+m } \right ) $
$ =\frac { \left ( { x ^ { 3 } +6x } \right ).\left ( { 3x ^ { 2 } +6 } \right ) } { \left | { x ^ { 3 } +6x } \right | }.f′\left ( { \left | { x ^ { 3 } +6x } \right |+m } \right ) $.
Ta thấy $ x=0 $ là một điểm tới hạn của hàm số $ g\left ( { x } \right ) $.
Mặt khác $ f′\left ( { \left | { x ^ { 3 } +6x } \right |+m } \right )=0\Leftrightarrow \left[ \left | { x ^ { 3 } +6x } \right |+m=8 \\ \left | { x ^ { 3 } +6x } \right |+m=3 \\ \left | { x ^ { 3 } +6x } \right |+m=-3 \right.\Leftrightarrow \left[ \left | { x ^ { 3 } +6x } \right |=8-m \\ \left | { x ^ { 3 } +6x } \right |=3-m \\ \left | { x ^ { 3 } +6x } \right |=-3-m \right. $.
Xét hàm số $ h\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } +6x $, vì $ h′\left ( { x } \right )=3x ^ { 2 } +6>0,∀x\in \mathbb{R} $ nên $ h\left ( { x } \right ) $ đồng biến trên $ \mathbb{R} $. Ta có bảng biến thiên của hàm số $ k\left ( { x } \right )=\left | { h\left ( { x } \right ) } \right |=\left | { x ^ { 3 } +6x } \right | $ như sau:

Hàm số $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { \left | { x ^ { 3 } +6x } \right |+m } \right ) $ có ít nhất 3 điểm cực trị khi phương trình $ f′\left ( { \left | { x ^ { 3 } +6x } \right |+m } \right )=0 $ có ít nhất hai nghiệm khác 0. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $ 8-m>0 $ hay $ m < 8 $.
Kết hợp điều kiện $ m $ nguyên dương ta được $ m\in \left \{ \begin{array}{l} 1;2;3...;7 \end{array} \right \} $. Vậy có 7 giá trị của $ m $ thoả mãn.