Bài tập nâng cao · Bài 43
Dạng 9. Tìm tham số để hàm số hợp chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 43
(Chuyên Bắc Giang - Lần 4 - 2019) Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm $ f'\left ( { x } \right )=\left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } \left ( { x-1 } \right )\left ( { x ^ { 2 } -2\left ( { m+1 } \right )x+m ^ { 2 } -1 } \right )\, $$ ,∀x\in \mathbb{R} $. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $ m $ để hàm số $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { \left | { x } \right | } \right ) $ có 5 điểm cực trị?
Xem lời giải
Lời giải
Dựa vào cách vẽ đồ thị hàm số $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { \left | { x } \right | } \right ) $, số điểm cực trị của đồ thị hàm số $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { \left | { x } \right | } \right ) $bằng hai lần số điểm cực trị dương của đồ thị hàm số $y=f(x)$ cộng thêm 1.
Để hàm số $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { \left | { x } \right | } \right ) $ có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có 2 cực trị dương.
Ta có $ f'\left ( { x } \right )=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=2. \\ x ^ { 2 } -2\left ( { m+1 } \right )x+m ^ { 2 } -1=0\,\,\,\,\left ( { * } \right ) \\ \end{array} \right.\,\,\, $
Có $ x=2 $ là nghiệm bội 2, $ x=1 $ là nghiệm đơn.
Vậy $ x ^ { 2 } -2\left ( { m+1 } \right )x+m ^ { 2 } -1=0 $có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệm dương $ x\neq 1 $, có một nghiệm $ x\leq 0 $
Trường hợp 1: Có nghiệm $ x=0 $ khi đó $ x ^ { 2 } -2\left ( { m+1 } \right )x+m ^ { 2 } -1=0\Leftrightarrow m ^ { 2 } -1=0\Leftrightarrow m=±1 $
Với $ m=1 $, có $ x ^ { 2 } -2\left ( { m+1 } \right )x+m ^ { 2 } -1=0\Leftrightarrow x ^ { 2 } -4x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=4 \\ \end{array} \right.\,\,\,\left ( { { \rm{ T } }{ \rm{ M } } } \right ) $
Với $ m=-1 $, có $ x ^ { 2 } -2\left ( { m+1 } \right )x+m ^ { 2 } -1=0\Leftrightarrow x ^ { 2 } =0\Leftrightarrow x=0\, $(Loại)
Trường hợp 2: $ x ^ { 2 } -2\left ( { m+1 } \right )x+m ^ { 2 } -1=0 $có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệm dương $ x\neq 1 $, có một nghiệm âm
Điều kiện tương đương $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} m ^ { 2 } -1 < 0 \\ 1 ^ { 2 } -2\left ( { m+1 } \right ).1+m ^ { 2 } -1\neq 0 \\ \end{array} \end{array} \right.\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} m\in \left ( { -1\,;\,1 } \right ) \\ m\neq 1±\sqrt[] { 3 } \\ \end{array} \end{array} \right. $
Vì $ m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=0 $
Vậy có hai giá trị nguyên của $ m $ thỏa mãn.
Để hàm số $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { \left | { x } \right | } \right ) $ có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có 2 cực trị dương.
Ta có $ f'\left ( { x } \right )=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=2. \\ x ^ { 2 } -2\left ( { m+1 } \right )x+m ^ { 2 } -1=0\,\,\,\,\left ( { * } \right ) \\ \end{array} \right.\,\,\, $
Có $ x=2 $ là nghiệm bội 2, $ x=1 $ là nghiệm đơn.
Vậy $ x ^ { 2 } -2\left ( { m+1 } \right )x+m ^ { 2 } -1=0 $có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệm dương $ x\neq 1 $, có một nghiệm $ x\leq 0 $
Trường hợp 1: Có nghiệm $ x=0 $ khi đó $ x ^ { 2 } -2\left ( { m+1 } \right )x+m ^ { 2 } -1=0\Leftrightarrow m ^ { 2 } -1=0\Leftrightarrow m=±1 $
Với $ m=1 $, có $ x ^ { 2 } -2\left ( { m+1 } \right )x+m ^ { 2 } -1=0\Leftrightarrow x ^ { 2 } -4x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=4 \\ \end{array} \right.\,\,\,\left ( { { \rm{ T } }{ \rm{ M } } } \right ) $
Với $ m=-1 $, có $ x ^ { 2 } -2\left ( { m+1 } \right )x+m ^ { 2 } -1=0\Leftrightarrow x ^ { 2 } =0\Leftrightarrow x=0\, $(Loại)
Trường hợp 2: $ x ^ { 2 } -2\left ( { m+1 } \right )x+m ^ { 2 } -1=0 $có hai nghiệm phân biệt, có một nghiệm dương $ x\neq 1 $, có một nghiệm âm
Điều kiện tương đương $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} m ^ { 2 } -1 < 0 \\ 1 ^ { 2 } -2\left ( { m+1 } \right ).1+m ^ { 2 } -1\neq 0 \\ \end{array} \end{array} \right.\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} m\in \left ( { -1\,;\,1 } \right ) \\ m\neq 1±\sqrt[] { 3 } \\ \end{array} \end{array} \right. $
Vì $ m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=0 $
Vậy có hai giá trị nguyên của $ m $ thỏa mãn.