Bài tự luận · Bài 18
Dạng 3. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng Có 2 phương pháp tìm giao tuyến $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. + Tìm 2 điểm chung. + Tìm bằng định lý giao tuyến $\left\{ \begin{array}{l} a\subset \left( P \right),\,b\subset \left( Q \right) \\ a \parallel b \\ \left( P \right)∩\left( Q \right)=c \end{array} \right.\Rightarrow c \parallel a \parallel b$. [IMAGE:question_images/11-11. HAI DUONG THANG SONG SONG/B. TU LUAN/image302.png] Bài toán tổng quát: Dựng $\left( P \right)$ qua $M$ và $\parallel a,\,b$. [IMAGE:question_images/11-11. HAI DUONG THANG SONG SONG/B. TU LUAN/image306.png] + Qua $M$ dựng $a' \parallel a$ <Đúng + Đủ> + Qua $M$ dựng $b' \parallel b$ <Đúng + Đủ> $\Rightarrow \left( P \right)≡\left( a',\,b' \right)$.
Bài tự luận Hai đường thẳng song song · Bài 18
a) Chứng minh rằng bốn điểm $I,J,K,L$ đồng phẳng và tứ giác $IJKL$ là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng $JL \parallel CD$.
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(IJKL)$ và $(SCD)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA$. Do $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN \parallel AC$ và $MN=\frac{1}{2}AC$. Tương tự ta có $QP \parallel AC$ và $QP=\frac{1}{2}AC$. Suy ra $MN \parallel QP$ và $MN=QP$.
Ngoài ra, ta có $\frac{SI}{SM}=\frac{SJ}{SN}=\frac{IJ}{MN}=\frac{2}{3}$. Suy ra $IJ \parallel MN$ và $IJ=\frac{2}{3}MN$. Tương tự ta có $LK \parallel QP$ và $LK=\frac{2}{3}QP$. Từ các kết quả trên, suy ra $IJ \parallel LK$ và $IJ=LK$. Vậy bốn điểm $I,J,K,L$ đồng phẳng và tứ giác $IJKL$ là hình bình hành.
b) Vì $\frac{SJ}{SN}=\frac{SL}{SQ}=\frac{2}{3}$ nên $JL \parallel NQ$. Trong hình bình hành $(ABCD)$ có $NQ \parallel CD$. Suy ra $JL \parallel CD$.
c) Hai mặt phẳng $\left( IJKL \right)$ và $\left( SCD \right)$ có điểm chung là $K$ và lần lượt chứa hai đường thẳng $JL$ và $CD$ song song với nhau nên giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( IJKL \right)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $d$ đi qua $K$ và song song với $CD$.