Bài tự luận · Bài 18
Dạng 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Bài tự luận Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 18
(KNTT12) Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng: $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\y=-2+t\\z=4-3t\end{array}\right.$ và $d':\left\{\begin{array}{l}x=1-2s\\y=2-s\\z=5+3s\end{array}\right.$.
a) Chứng minh rằng $d\parallel d'$.
b) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ và $d'$.
a) Chứng minh rằng $d\parallel d'$.
b) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ và $d'$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $\overrightarrow{u_d}=(2;1;-3)$ và $\overrightarrow{u_{d'}}=(-2;-1;3)$ là hai vectơ cùng phương và điểm $A(1;-2;4)$ thuộc đường thẳng $d$ nhưng hệ $\left\{\begin{array}{l}1-2s=1\\2-s=-2\\5+3s=4\end{array}\right.$ vô nghiệm nên điểm $A$ không thuộc đường thẳng $d'$. Do đó $d\parallel d'$.
b) Ta có $B(1;2;5)$ thuộc đường thẳng $d'$, suy ra: $\overrightarrow{AB}=(0;4;1)$. Vì mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng $d$ và $d'$ nên $\overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{AB}]=(13;-2;8)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
$13(x-1)-2(y+2)+8(z-4)=0\Leftrightarrow13x-2y+8z-49=0$.
b) Ta có $B(1;2;5)$ thuộc đường thẳng $d'$, suy ra: $\overrightarrow{AB}=(0;4;1)$. Vì mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng $d$ và $d'$ nên $\overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{AB}]=(13;-2;8)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
$13(x-1)-2(y+2)+8(z-4)=0\Leftrightarrow13x-2y+8z-49=0$.