(CD11) Cho hình chóp $S.ABC$ có $\widehat { ASB }= \widehat { BSC }= \widehat { CSA }=90^{\circ}$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $SH\perp (ABC)$.

Question

Dạng 2. Phép chiếu vuông góc (CD11) Cho hình chóp $S.ABC$ có $\widehat { ASB }= \widehat { BSC }= \widehat { CSA }=90^{\circ}$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $SH\perp (ABC)$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-31. DUONG THANG VUONG GOC VS MP - PHEP CHIEU VUONG GOC/B. TU LUAN/image363.png] Gọi $AN,CM$ là hai đường cao của tam giác $ABC$. Khi đó, $H$ là giao điểm của $AN$ và $CM$. Theo giả thiết, $SA\perp SB,SA\perp SC$ mà $SB,SC$ cắt nhau trong mặt phẳng $(SBC)$ nên $SA\perp (SBC)$. Mà $BC\subset (SBC)$ nên $SA\perp BC$. Ngoài ra, $AH\perp BC$ và $SA,AH$ cắt nhau trong mặt phẳng $(SAH)$ nên $BC\perp (SAH)$. Mà $SH\subset (SAH)$ nên $BC\perp SH$. Tương tự, ta có: $AB\perp SH$. Bên cạnh đó, $AB,BC$ cắt nhau trong mặt phẳng $(ABC)$ nên $SH\perp (ABC)$.

Bài tự luận Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng · Bài 17