Bài tự luận · Bài 33
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 33
Một cuộc thi gồm hai loại câu hỏi: Câu hỏi loại 1 và câu hỏi loại 2. Ở vòng 1 thí sinh bốc ngấu nhiên câu hỏi loại $ i\in \{1;2\} $. Nếu trả lời sai thì thí sinh dừng cuộc thi tại đây. Nếu trả lời đúng, thí sinh sẽ đi tiếp vào vòng 2, tiếp tục bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại $ j\in \{1;2\}(j\neq i) $. Sau khi thí sinh trả lời câu hỏi này, cuộc thi kết thúc. Thí sinh sẽ nhận được $ V_{ i } $ điểm nếu trả lời đúng câu hỏi loại $ i\in \{1;2\} $. Giả thiết rằng việc trả lời đúng câu hỏi vòng 1 sẽ không ảnh hưởng đến xác suất trả lời đúng hay sai câu hỏi ở vòng 2.
Bạn An tham gia cuộc thi. Gọi $ E_{ i } $ là biến cố: "An trả lời đúng câu hỏi loại $ i $ " ( $ i\in \{1;2\} $). Giả sử $ P\left ( { E_{ i } } \right )=p_{ i } $.
a) Với điều kiện nào thì ở vòng 1, An nên bốc ngẫu nhiên câu hỏi loại 1 ?
b) Giả sử $ p_{ 1 } =0,6,p_{ 2 } =0,8,V_{ 1 } =20,V_{ 2 } =10 $. Khi đó ở vòng 1, An nên bốc ngẫu nhiên câu hỏi loại nào?
Bạn An tham gia cuộc thi. Gọi $ E_{ i } $ là biến cố: "An trả lời đúng câu hỏi loại $ i $ " ( $ i\in \{1;2\} $). Giả sử $ P\left ( { E_{ i } } \right )=p_{ i } $.
a) Với điều kiện nào thì ở vòng 1, An nên bốc ngẫu nhiên câu hỏi loại 1 ?
b) Giả sử $ p_{ 1 } =0,6,p_{ 2 } =0,8,V_{ 1 } =20,V_{ 2 } =10 $. Khi đó ở vòng 1, An nên bốc ngẫu nhiên câu hỏi loại nào?
Xem lời giải
Lời giải
*) Nếu ở vòng 1 An bốc ngẫu nhiên câu hỏi loại 1.
i) Nếu trả lời sai thì An được 0 điểm. Cuộc thi kết thúc tại đây.
Vậy $ P\left ( { X_{ 1 } =0 } \right )=P\left ( { \overline{E_1} } \right )=1-p_{ 1 } $.
ii) Nếu trả lời đúng thì An nhận $ V_{ 1 } $ điểm và An được đi tiếp vòng 2: Bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại 2.
Gọi $ E_{ 1 } $ là biến cố: "Trả lời đúng câu hỏi loại 1"; $ E_{ 2 } $ là biến cố: "Trả lời đúng câu hỏi loại 2".
Nếu trả lời sai câu hỏi loại 2 này thì An nhận 0 điểm. Cuộc thi kết thúc tại đây và An được $ V_{ 1 } +0=V_{ 1 } $ điểm.
Theo giả thiết $ E_{ 1 } ,\overline{E_2} $ là hai biến cố độc lập.
Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có:
$ P\left ( { X_{ 1 } =V_{ 1 } } \right )=P\left ( { E_{ 1 }\overline{E_2} } \right )=P\left ( { E_{ 1 } } \right )P\left ( { \overline{E_2} } \right )=p_{ 1 } \left ( { 1-p_{ 2 } } \right ). $
Nếu trả lời đúng câu hỏi loại 2 này thì An nhận $ V_{ 2 } $ điểm. Cuộc thi kết thúc tại đây và An được $ V_{ 1 } +V_{ 2 } $ điểm.
Theo giả thiết $ E_{ 1 } ,E_{ 2 } $ là hai biến cố độc lập.
Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có:
$ P\left ( { X_{ 1 } =V_{ 1 } +V_{ 2 } } \right )=P\left ( { E_{ 1 } E_{ 2 } } \right )=P\left ( { E_{ 1 } } \right )P\left ( { E_{ 2 } } \right )=p_{ 1 } p_{ 2 } . $
Vậy bảng phân bố xác suất của $ X_{ 1 } $ là:
$ X_{ 1 } $ 0 $ V_{ 1 } $ $ V_{ 1 } +V_{ 2 } $
$ P $ $ 1-p_{ 1 } $ $ p_{ 1 } \left ( { 1-p_{ 2 } } \right ) $ $ p_{ 1 } p_{ 2 } $
$ E\left ( { X_{ 1 } } \right )=V_{ 1 } p_{ 1 } \left ( { 1-p_{ 2 } } \right )+\left ( { V_{ 1 } +V_{ 2 } } \right )p_{ 1 } p_{ 2 } . $
*) Nếu ở vòng 1, An bốc ngẫu nhiên câu hỏi loại 2.
Lập luận tương tự như trên ta có bảng phân bố xác suất của $ X_{ 2 } $ là:
$ X_{ 2 } $ 0 $ V_{ 2 } $ $ V_{ 1 } +V_{ 2 } $
$ P $ $ 1-p_{ 2 } $ $ p_{ 2 } \left ( { 1-p_{ 1 } } \right ) $ $ p_{ 1 } p_{ 2 } $
$ E\left ( { X_{ 2 } } \right )=V_{ 2 } p_{ 2 } \left ( { 1-p_{ 1 } } \right )+\left ( { V_{ 1 } +V_{ 2 } } \right )p_{ 1 } p_{ 2 } . $
a) Ở vòng 1 An nên chọn câu hỏi loại 1 trước nếu $ E\left ( { X_{ 1 } } \right )\geq E\left ( { X_{ 2 } } \right )\Leftrightarrow V_{ 1 } p_{ 1 } \left ( { 1-p_{ 2 } } \right )\geq V_{ 2 } p_{ 2 } \left ( { 1-p_{ 1 } } \right ) $ tức là nếu $ \frac { V_{ 1 } p_{ 1 } } { 1-p_{ 1 } }\geq \frac { V_{ 2 } p_{ 2 } } { 1-p_{ 2 } } $.
b) Ta có $ \frac { V_{ 1 } p_{ 1 } } { 1-p_{ 1 } }=\frac { 20\cdot 0,6 } { 1-0,6 }=30 < \frac { V_{ 2 } p_{ 2 } } { 1-p_{ 2 } }=\frac { 10\cdot 0,8 } { 1-0,8 }=40 $.
Vậy ở vòng 1 An nên chọn câu hỏi loại 2 trước.
i) Nếu trả lời sai thì An được 0 điểm. Cuộc thi kết thúc tại đây.
Vậy $ P\left ( { X_{ 1 } =0 } \right )=P\left ( { \overline{E_1} } \right )=1-p_{ 1 } $.
ii) Nếu trả lời đúng thì An nhận $ V_{ 1 } $ điểm và An được đi tiếp vòng 2: Bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại 2.
Gọi $ E_{ 1 } $ là biến cố: "Trả lời đúng câu hỏi loại 1"; $ E_{ 2 } $ là biến cố: "Trả lời đúng câu hỏi loại 2".
Nếu trả lời sai câu hỏi loại 2 này thì An nhận 0 điểm. Cuộc thi kết thúc tại đây và An được $ V_{ 1 } +0=V_{ 1 } $ điểm.
Theo giả thiết $ E_{ 1 } ,\overline{E_2} $ là hai biến cố độc lập.
Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có:
$ P\left ( { X_{ 1 } =V_{ 1 } } \right )=P\left ( { E_{ 1 }\overline{E_2} } \right )=P\left ( { E_{ 1 } } \right )P\left ( { \overline{E_2} } \right )=p_{ 1 } \left ( { 1-p_{ 2 } } \right ). $
Nếu trả lời đúng câu hỏi loại 2 này thì An nhận $ V_{ 2 } $ điểm. Cuộc thi kết thúc tại đây và An được $ V_{ 1 } +V_{ 2 } $ điểm.
Theo giả thiết $ E_{ 1 } ,E_{ 2 } $ là hai biến cố độc lập.
Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có:
$ P\left ( { X_{ 1 } =V_{ 1 } +V_{ 2 } } \right )=P\left ( { E_{ 1 } E_{ 2 } } \right )=P\left ( { E_{ 1 } } \right )P\left ( { E_{ 2 } } \right )=p_{ 1 } p_{ 2 } . $
Vậy bảng phân bố xác suất của $ X_{ 1 } $ là:
$ X_{ 1 } $ 0 $ V_{ 1 } $ $ V_{ 1 } +V_{ 2 } $
$ P $ $ 1-p_{ 1 } $ $ p_{ 1 } \left ( { 1-p_{ 2 } } \right ) $ $ p_{ 1 } p_{ 2 } $
$ E\left ( { X_{ 1 } } \right )=V_{ 1 } p_{ 1 } \left ( { 1-p_{ 2 } } \right )+\left ( { V_{ 1 } +V_{ 2 } } \right )p_{ 1 } p_{ 2 } . $
*) Nếu ở vòng 1, An bốc ngẫu nhiên câu hỏi loại 2.
Lập luận tương tự như trên ta có bảng phân bố xác suất của $ X_{ 2 } $ là:
$ X_{ 2 } $ 0 $ V_{ 2 } $ $ V_{ 1 } +V_{ 2 } $
$ P $ $ 1-p_{ 2 } $ $ p_{ 2 } \left ( { 1-p_{ 1 } } \right ) $ $ p_{ 1 } p_{ 2 } $
$ E\left ( { X_{ 2 } } \right )=V_{ 2 } p_{ 2 } \left ( { 1-p_{ 1 } } \right )+\left ( { V_{ 1 } +V_{ 2 } } \right )p_{ 1 } p_{ 2 } . $
a) Ở vòng 1 An nên chọn câu hỏi loại 1 trước nếu $ E\left ( { X_{ 1 } } \right )\geq E\left ( { X_{ 2 } } \right )\Leftrightarrow V_{ 1 } p_{ 1 } \left ( { 1-p_{ 2 } } \right )\geq V_{ 2 } p_{ 2 } \left ( { 1-p_{ 1 } } \right ) $ tức là nếu $ \frac { V_{ 1 } p_{ 1 } } { 1-p_{ 1 } }\geq \frac { V_{ 2 } p_{ 2 } } { 1-p_{ 2 } } $.
b) Ta có $ \frac { V_{ 1 } p_{ 1 } } { 1-p_{ 1 } }=\frac { 20\cdot 0,6 } { 1-0,6 }=30 < \frac { V_{ 2 } p_{ 2 } } { 1-p_{ 2 } }=\frac { 10\cdot 0,8 } { 1-0,8 }=40 $.
Vậy ở vòng 1 An nên chọn câu hỏi loại 2 trước.