Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 21

Ta có $ y ^ { ′ } =-2+\frac { a(x-2) } { \sqrt[] { x ^ { 2 } -4x+5 } },∀x;y ^ { ′′ } =\frac { a } { \left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } -4x+5 } } \right ) ^ { 3 } },∀x $.
- Xét $ a=0:y=-2x+2 $. Suy ra hàm số không có cực trị.
- Xét $ a\neq 0 $:
Hàm số có cực đại $ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} y ^ { ′ } =0 \\ y ^ { ′′ } < 0 \\ \end{array} \end{array} \right. $ có nghiệm $ \Leftrightarrow a < 0 $ và phương trình $ y ^ { ′ } =0 $ có nghiệm.
$y'=0\Leftrightarrow \frac{a(x-2)}{\sqrt{x^2-4x+5}}=2\Leftrightarrow f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}=\frac{2}{a}$.
Ta có: $ f ^ { ′ } (x)=\frac { 1 } { \left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } -4x+5 } } \right ) ^ { 3 } }>0,∀x;\mathop { lim } \limits_{ x\to -\infty } f(x)=-1;\mathop { lim } \limits_{ x\to +\infty } f(x)=1 $.

Vậy hàm số có cực đại $ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a < 0 \\ -1 < \frac { 2 } { a } < 1 \\ \end{array} \Leftrightarrow a < -2 \end{array} \right. $.
Kết hợp $a\in[-20;20]$, ta có $a\in\{-20;-19;\ldots;-3\}$, nên có 18 số nguyên thỏa mãn.