Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 49

Dựng hình bình hành $ BICK $$ \Rightarrow BICK $ là hình chữ nhật do $ BI⊥CD $. Gọi $ H $ là tâm $ \Delta BCD $.
Vẽ $ HM⊥KC $ tại $ M $, $ HN⊥AM $ tại $ N $.
Ta có $ CK⊥\left ( { AHM } \right ) $$ \Rightarrow CK⊥HN $$ \Rightarrow HN⊥\left ( { ACK } \right ) $.
Ta có $ BI\ { \rm{ / } }{ \rm{ / } }\ \left ( { ACK } \right ) $$ \Rightarrow d\left ( { AC,BI } \right )=d\left ( { BI,\left ( { ACK } \right ) } \right )=d\left ( { H,\left ( { ACK } \right ) } \right )=HN $.
Ta có $ AH=\sqrt[] { AB ^ { 2 } -BH ^ { 2 } }=\sqrt[] { 11-\left ( { \frac { \sqrt[] { 11 }.\sqrt[] { 3 } } { 3 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 66 } } { 3 } $, $ HM=CI=\frac { \sqrt[] { 11 } } { 2 } $
$ HN=\frac { AH.HM } { \sqrt[] { AH ^ { 2 } +HM ^ { 2 } } }=\frac { \frac { \sqrt[] { 66 } } { 3 }.\frac { \sqrt[] { 11 } } { 2 } } { \sqrt[] { \frac { 22 } { 3 }+\frac { 11 } { 4 } } }=\sqrt[] { 2 } $$ \Rightarrow d\left ( { AC,BI } \right )=\sqrt[] { 2 } $.