Bài tập nâng cao · Bài 48
Dạng 2. Khoảng cách đường với đường
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 48
Cho hình lăng trụ đứng $ ABC.A'B'C' $ có $ AC=\sqrt[] { 5 },AB=\sqrt[] { 6 },AA'=2 $ và$ \widehat { BAC }=90 ^ { o } $. Hãy xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau $ A'B $ và $ AC' $.
Xem lời giải
Lời giải
Trên các đường thẳng $ A'B $ và $ AC' $ lấy các điểm $ M,Q $. Khi đó, có các số $ m,q\in ℝ $ sao cho
$ \overset\rightarrow { AM }=m\overset\rightarrow { AA' }+\left ( { 1-m } \right )\overset\rightarrow { AB } $
$ AQ=q\overset\rightarrow { AA' }+q\overset\rightarrow { AC } $
Suy ra
$ \overset\rightarrow { QM }=\left ( { m-q } \right )\overset\rightarrow { AA' }+\left ( { 1-m } \right )\overset\rightarrow { AB }-q\overset\rightarrow { AC } $.
Ta có
$ QM=\sqrt[] { \overset\rightarrow { QM } ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { m-q } \right ) ^ { 2 } AA ^ { '2 } +\left ( { 1-m } \right ) ^ { 2 } AB ^ { 2 } +q ^ { 2 } AC ^ { 2 } } $
$ =\sqrt[] { 4\left ( { m-q } \right ) ^ { 2 } +6\left ( { 1-m } \right ) ^ { 2 } +5q^2 } $
$ =\sqrt[] { 10m ^ { 2 } +9q ^ { 2 } -12m-8mq+6 } $
Gọi $ d $ là khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau $ A'B $ và $ AC' $. Ta luôn khẳng định được
$ d=\mathop { min } \limits_{ M\in A'B,Q\in AC' } QM $
Do$ 10m ^ { 2 } +9q ^ { 2 } -12m-8mq+6=\frac { 2 } { 5 }\left ( { 5{ \rm{ m } }-2{ \rm{ q } }-3 } \right ) ^ { 2 } +\frac { 37 } { 5 }\left ( { q-\frac { 12 } { 37 } } \right ) ^ { 2 } +\frac { 60 } { 37 }\geq \frac { 60 } { 37 } $
Suy ra $ MQ ^ { 2 } \geq \frac { 60 } { 37 } $
Dấu “=” của BĐT xảy ra khi $ 5m-2q-3=0 $ và $ q=\frac { 12 } { 37 } $ hay $ m=\frac { 27 } { 37 },q=\frac { 12 } { 37 } $
Vậy $ d=\mathop { min } \limits_{ M\in A'B,Q\in AC' } QM=\sqrt[] { \frac { 60 } { 37 } } $
$ \overset\rightarrow { AM }=m\overset\rightarrow { AA' }+\left ( { 1-m } \right )\overset\rightarrow { AB } $
$ AQ=q\overset\rightarrow { AA' }+q\overset\rightarrow { AC } $
Suy ra
$ \overset\rightarrow { QM }=\left ( { m-q } \right )\overset\rightarrow { AA' }+\left ( { 1-m } \right )\overset\rightarrow { AB }-q\overset\rightarrow { AC } $.
Ta có
$ QM=\sqrt[] { \overset\rightarrow { QM } ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { m-q } \right ) ^ { 2 } AA ^ { '2 } +\left ( { 1-m } \right ) ^ { 2 } AB ^ { 2 } +q ^ { 2 } AC ^ { 2 } } $
$ =\sqrt[] { 4\left ( { m-q } \right ) ^ { 2 } +6\left ( { 1-m } \right ) ^ { 2 } +5q^2 } $
$ =\sqrt[] { 10m ^ { 2 } +9q ^ { 2 } -12m-8mq+6 } $
Gọi $ d $ là khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau $ A'B $ và $ AC' $. Ta luôn khẳng định được
$ d=\mathop { min } \limits_{ M\in A'B,Q\in AC' } QM $
Do$ 10m ^ { 2 } +9q ^ { 2 } -12m-8mq+6=\frac { 2 } { 5 }\left ( { 5{ \rm{ m } }-2{ \rm{ q } }-3 } \right ) ^ { 2 } +\frac { 37 } { 5 }\left ( { q-\frac { 12 } { 37 } } \right ) ^ { 2 } +\frac { 60 } { 37 }\geq \frac { 60 } { 37 } $
Suy ra $ MQ ^ { 2 } \geq \frac { 60 } { 37 } $
Dấu “=” của BĐT xảy ra khi $ 5m-2q-3=0 $ và $ q=\frac { 12 } { 37 } $ hay $ m=\frac { 27 } { 37 },q=\frac { 12 } { 37 } $
Vậy $ d=\mathop { min } \limits_{ M\in A'B,Q\in AC' } QM=\sqrt[] { \frac { 60 } { 37 } } $