Bài tập nâng cao · Bài 47
Dạng 2. Khoảng cách đường với đường
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 47
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $. Cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy $ \left ( { ABCD } \right ) $, $ SC=2a $. Gọi $ M $ là trung điểm $ CD $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ BM $ và $ SC $.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ I=BM∩AC $. Kẻ $ IE{ \rm{ } }{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }{ \rm{ } }SC $ cắt $ SA $ tại $ E $.
Khi đó $ SC{ \rm{ } }{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }{ \rm{ } }\left ( { BME } \right ) $
$ \Rightarrow d(BM;SC)=d\left ( { SC;(BME) } \right )=d\left ( { C;(BME) } \right )=\frac { 1 } { 2 }d\left ( { A;\left ( { BME } \right ) } \right ) $ ($ I $ là trọng tâm $ \Delta BCD $).
Gọi $ N $ là trung điểm $ BC $, $ P=AN∩BM $.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} AN⊥BM \\ SA⊥BM \end{array} \right.\Rightarrow BM⊥\left ( { SAN } \right ) $.
Suy ra $ \left ( { SAN } \right )⊥\left ( { BEM } \right ) $ theo giao tuyến $ EP $
$ \left ( { SAN } \right ) $: $ AH⊥EP $ tại $ H $
Suy ra $ AH⊥\left ( { BEM } \right ) $ tại $ H $ $ \Rightarrow d\left ( { A;(BEM) } \right )=AH $.
Ta có: $ AN.AP=AB ^ { 2 } $ $ \Rightarrow AP=\frac { AB ^ { 2 } } { AN }=\frac { 2a\sqrt[] { 5 } } { 5 } $.
Trong tam giác vuông $ SAC $ có $ SA=\sqrt[] { SC ^ { 2 } -AC ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 2 } $.
Ta có $ \frac { AE } { AS }=\frac { AI } { AC }=\frac { 2 } { 3 }\Rightarrow AE=\frac { 2AS } { 3 }=\frac { 2a\sqrt[] { 2 } } { 3 } $.
$ \Delta AEP $ vuông tại $ A $, đường cao $ AH $ có
$ AH=\frac { AP.AE } { \sqrt[] { AP ^ { 2 } +AE ^ { 2 } } }=\frac { 2a\sqrt[] { 38 } } { 19 } $.
$ \Rightarrow d(BM;SC)=\frac { 1 } { 2 }AH=\frac { a\sqrt[] { 38 } } { 19 } $ (đvđd).
Khi đó $ SC{ \rm{ } }{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }{ \rm{ } }\left ( { BME } \right ) $
$ \Rightarrow d(BM;SC)=d\left ( { SC;(BME) } \right )=d\left ( { C;(BME) } \right )=\frac { 1 } { 2 }d\left ( { A;\left ( { BME } \right ) } \right ) $ ($ I $ là trọng tâm $ \Delta BCD $).
Gọi $ N $ là trung điểm $ BC $, $ P=AN∩BM $.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} AN⊥BM \\ SA⊥BM \end{array} \right.\Rightarrow BM⊥\left ( { SAN } \right ) $.
Suy ra $ \left ( { SAN } \right )⊥\left ( { BEM } \right ) $ theo giao tuyến $ EP $
$ \left ( { SAN } \right ) $: $ AH⊥EP $ tại $ H $
Suy ra $ AH⊥\left ( { BEM } \right ) $ tại $ H $ $ \Rightarrow d\left ( { A;(BEM) } \right )=AH $.
Ta có: $ AN.AP=AB ^ { 2 } $ $ \Rightarrow AP=\frac { AB ^ { 2 } } { AN }=\frac { 2a\sqrt[] { 5 } } { 5 } $.
Trong tam giác vuông $ SAC $ có $ SA=\sqrt[] { SC ^ { 2 } -AC ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 2 } $.
Ta có $ \frac { AE } { AS }=\frac { AI } { AC }=\frac { 2 } { 3 }\Rightarrow AE=\frac { 2AS } { 3 }=\frac { 2a\sqrt[] { 2 } } { 3 } $.
$ \Delta AEP $ vuông tại $ A $, đường cao $ AH $ có
$ AH=\frac { AP.AE } { \sqrt[] { AP ^ { 2 } +AE ^ { 2 } } }=\frac { 2a\sqrt[] { 38 } } { 19 } $.
$ \Rightarrow d(BM;SC)=\frac { 1 } { 2 }AH=\frac { a\sqrt[] { 38 } } { 19 } $ (đvđd).