Bài tự luận · Bài 86
Dạng 5. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và ứng dụng Phương pháp Cho hai vectơ $a=(a_1;a_2),b=(b_1;b_2)$ và hai điểm $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)$. Ta có: - $a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2$ - $a\perp b\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2=0$; - $a$ và $b$ cùng phương $\Leftrightarrow a_1b_2-a_2b_1=0$ - $\lVert a\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ - $\cos(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\lVert a\rVert\cdot\lVert b\rVert}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$; ($a,b$ khác $0$).
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 86
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(2;2),B(1;-1),C(8;0)$.
a) Tính $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}$ và $\cos\widehat{ABC}$.
b) Chứng minh $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$.
c) Giải tam giác $ABC$.
a) Tính $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}$ và $\cos\widehat{ABC}$.
b) Chứng minh $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$.
c) Giải tam giác $ABC$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $\overrightarrow{BA}=(1;3),\overrightarrow{BC}=(7;1)$. Do đó $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=1\cdot7+3\cdot1=10$.
Mặt khác, ta cũng có:
$\lVert\overrightarrow{BA}\rVert=\sqrt{10},\lVert\overrightarrow{BC}\rVert=\sqrt{50}$,
$\cos\widehat{ABC}=\cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{\lVert\overrightarrow{BA}\rVert\cdot\lVert\overrightarrow{BC}\rVert}=\dfrac{10}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{50}}=\dfrac{\sqrt5}{5}$.
b) Do $\overrightarrow{AB}=(-1;-3)$ và $\overrightarrow{AC}=(6;-2)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-1)6+(-3)(-2)=0$. Vậy $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$.
c) Do $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$ nên $\widehat{BAC}=90^{\circ}$, tức là tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Mà $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{\sqrt5}{5}$ nên $\widehat{ABC}\approx63^{\circ}$. Vì thế $\widehat{ACB}\approx90^{\circ}-63^{\circ}=27^{\circ}$.
Mặt khác, ta có: $AB=\lVert\overrightarrow{BA}\rVert=\sqrt{10}$,
$BC=\lVert\overrightarrow{BC}\rVert=\sqrt{50}=5\sqrt2,CA=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{(5\sqrt2)^2-(\sqrt{10})^2}=2\sqrt{10}$
Mặt khác, ta cũng có:
$\lVert\overrightarrow{BA}\rVert=\sqrt{10},\lVert\overrightarrow{BC}\rVert=\sqrt{50}$,
$\cos\widehat{ABC}=\cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{\lVert\overrightarrow{BA}\rVert\cdot\lVert\overrightarrow{BC}\rVert}=\dfrac{10}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{50}}=\dfrac{\sqrt5}{5}$.
b) Do $\overrightarrow{AB}=(-1;-3)$ và $\overrightarrow{AC}=(6;-2)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-1)6+(-3)(-2)=0$. Vậy $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$.
c) Do $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$ nên $\widehat{BAC}=90^{\circ}$, tức là tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Mà $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{\sqrt5}{5}$ nên $\widehat{ABC}\approx63^{\circ}$. Vì thế $\widehat{ACB}\approx90^{\circ}-63^{\circ}=27^{\circ}$.
Mặt khác, ta có: $AB=\lVert\overrightarrow{BA}\rVert=\sqrt{10}$,
$BC=\lVert\overrightarrow{BC}\rVert=\sqrt{50}=5\sqrt2,CA=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{(5\sqrt2)^2-(\sqrt{10})^2}=2\sqrt{10}$