Bài tự luận · Bài 87
Dạng 5. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và ứng dụng Phương pháp Cho hai vectơ $a=(a_1;a_2),b=(b_1;b_2)$ và hai điểm $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)$. Ta có: - $a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2$ - $a\perp b\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2=0$; - $a$ và $b$ cùng phương $\Leftrightarrow a_1b_2-a_2b_1=0$ - $\lVert a\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ - $\cos(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\lVert a\rVert\cdot\lVert b\rVert}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$; ($a,b$ khác $0$).
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 87
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A(-2;3);B(4;5);C(2;-3)$
a) Chứng minh ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
c) Giải tam giác $ABC$ (làm tròn các kết quả đến hàng đơn vị).
a) Chứng minh ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
c) Giải tam giác $ABC$ (làm tròn các kết quả đến hàng đơn vị).
Xem lời giải
Lời giải
$A(-2;3);B(4;5);C(2;-3)$
a) Có: $\overrightarrow{AB}=(6;2);\overrightarrow{BC}=(-2;-8)$
Vì $\dfrac6{-2}\neq\dfrac2{-8}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\neq k\overrightarrow{BC}$
Vậy ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) Vì G là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên:
$x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=\dfrac{-2+4+2}{3}=\dfrac43$
$y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{3+5+(-3)}{3}$
Vậy $G\left(\dfrac43;\dfrac53\right)$
c) Giải tam giác $ABC$ (làm tròn các kết quả đến hàng đơn vị).
- $\overrightarrow{AB}=(6;2)=\lVert\overrightarrow{AB}\rVert=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}\approx6$
- $\overrightarrow{BC}=(-2;-8)=\lVert\overrightarrow{BC}\rVert=\sqrt{(-2)^2+(-8)^2}=2\sqrt{17}\approx8$
- $\overrightarrow{AC}=(4;-6)=\lVert\overrightarrow{AC}\rVert=\sqrt{4^2+(-6)^2}=2\sqrt{13}\approx7$
$\overrightarrow{BA}=(-6;-2);\overrightarrow{BC}=(-2;-8)$
- $\cos\widehat{ABC}=\cos(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC})=\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{\lVert\overrightarrow{BA}\rVert\cdot\lVert\overrightarrow{BC}\rVert}=\dfrac{28}{2\sqrt{10}\cdot2\sqrt{17}}\approx0,54\Rightarrow\widehat{ABC}\approx58^{\circ}$
- $\cos\widehat{BAC}=\cos(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\lVert\overrightarrow{AB}\rVert\cdot\lVert\overrightarrow{AC}\rVert}=\dfrac{12}{2\sqrt{10}\cdot2\sqrt{13}}\approx0,26\Rightarrow\widehat{BAC}\approx75^{\circ}$
Xét tam giác $ABC$ có: $\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180^{\circ}$ (ĐL tổng ba góc trong tam giác)
- $\Rightarrow\widehat{ACB}=180^{\circ}-(\widehat{BAC}+\widehat{ABC})=47^{\circ}$
a) Có: $\overrightarrow{AB}=(6;2);\overrightarrow{BC}=(-2;-8)$
Vì $\dfrac6{-2}\neq\dfrac2{-8}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\neq k\overrightarrow{BC}$
Vậy ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) Vì G là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên:
$x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=\dfrac{-2+4+2}{3}=\dfrac43$
$y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{3+5+(-3)}{3}$
Vậy $G\left(\dfrac43;\dfrac53\right)$
c) Giải tam giác $ABC$ (làm tròn các kết quả đến hàng đơn vị).
- $\overrightarrow{AB}=(6;2)=\lVert\overrightarrow{AB}\rVert=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}\approx6$
- $\overrightarrow{BC}=(-2;-8)=\lVert\overrightarrow{BC}\rVert=\sqrt{(-2)^2+(-8)^2}=2\sqrt{17}\approx8$
- $\overrightarrow{AC}=(4;-6)=\lVert\overrightarrow{AC}\rVert=\sqrt{4^2+(-6)^2}=2\sqrt{13}\approx7$
$\overrightarrow{BA}=(-6;-2);\overrightarrow{BC}=(-2;-8)$
- $\cos\widehat{ABC}=\cos(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC})=\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{\lVert\overrightarrow{BA}\rVert\cdot\lVert\overrightarrow{BC}\rVert}=\dfrac{28}{2\sqrt{10}\cdot2\sqrt{17}}\approx0,54\Rightarrow\widehat{ABC}\approx58^{\circ}$
- $\cos\widehat{BAC}=\cos(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\lVert\overrightarrow{AB}\rVert\cdot\lVert\overrightarrow{AC}\rVert}=\dfrac{12}{2\sqrt{10}\cdot2\sqrt{13}}\approx0,26\Rightarrow\widehat{BAC}\approx75^{\circ}$
Xét tam giác $ABC$ có: $\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180^{\circ}$ (ĐL tổng ba góc trong tam giác)
- $\Rightarrow\widehat{ACB}=180^{\circ}-(\widehat{BAC}+\widehat{ABC})=47^{\circ}$