Cho điểm $A(1;4)$. Gọi $B$ là điểm đối xứng với điểm $A$ qua gốc toạ độ $O$. Tìm tọa độ của điểm $C$ có tung độ bằng 3, sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$.

Question

Dạng 5. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và ứng dụng Phương pháp Cho hai vectơ $a=(a_1;a_2),b=(b_1;b_2)$ và hai điểm $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)$. Ta có: - $a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2$ - $a\perp b\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2=0$; - $a$ và $b$ cùng phương $\Leftrightarrow a_1b_2-a_2b_1=0$ - $\lVert a\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ - $\cos(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\lVert a\rVert\cdot\lVert b\rVert}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$; ($a,b$ khác $0$). Cho điểm $A(1;4)$. Gọi $B$ là điểm đối xứng với điểm $A$ qua gốc toạ độ $O$. Tìm tọa độ của điểm $C$ có tung độ bằng 3, sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Gọi $C(x;3)$. Vì $B$ là điểm đối xứng với điểm $A$ qua gốc tọa độ $O$ nên $B(-1;-4)$. $\overrightarrow{CA}=(1-x;1);\overrightarrow{CB}=(-1-x;-7)$. Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên ta có: $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0\Leftrightarrow(1-x)(-1-x)-7=0\Leftrightarrow x^2=8\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=2\sqrt2\x=-2\sqrt2\end{array}ight.$. Vậy $C(2\sqrt2;3)$ hoặc $C(-2\sqrt2;3)$.

Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 85