Đúng/Sai · Câu 6
(THPT Bắc Đông Quan - Thái Bình 2025) Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh có độ dài bằng $a$. Đường thẳng $A'C$ tạo với đáy $ABCD$ góc $\alpha$ sao cho $\tan\alpha = \sqrt{2}$.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Đúng
- c. Sai
- d. Đúng
Lời giải
Lời giải
a) Đúng:
Ta có $\tan\alpha = \sqrt{2} = \tan\widehat{A'CA} = \frac{A'A}{AC}$.
Với $AC = a\sqrt{2}$, suy ra $A'A = AC \cdot \tan\alpha = a\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2a$.
Thể tích khối hộp: $V = S_{ABCD} \cdot A'A = a^{2} \cdot 2a = 2a^{3}$.
b) Đúng:
Góc nhị diện $\left[ (BCC'B'), BB', (BDD'B') \right]$ là góc giữa hai mặt phẳng $(BCC'B')$ và $(BDD'B')$, chính là góc $\widehat{CBD} = 45^{\circ}$ (do $ABCD$ là hình vuông).
c) Sai:
Ta có $CD' \parallel A'B$, nên $d(BD, CD') = d(CD', (A'BD)) = d(C, (A'BD)) = d(A, (A'BD))$.
Gọi $O = AC \cap BD$. Kẻ $AH \perp A'O$ tại $H$, khi đó $d(A, (A'BD)) = AH$.
Trong tam giác vuông $AA'O$: $\frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{AA'^{2}} + \frac{1}{AO^{2}} = \frac{1}{4a^{2}} + \frac{1}{\frac{a^{2}}{2}} = \frac{1}{4a^{2}} + \frac{2}{a^{2}} = \frac{9}{4a^{2}}$.
Suy ra $AH = \frac{2a}{3}$. Vậy khoảng cách là $\frac{2a}{3}$.
d) Đúng:
Theo quy tắc hình hộp, ta có $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$.