Bài tự luận · Bài 40
Dạng 3. Tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng
Bài tự luận Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 40
(KNTT12) Trong không gian $Oxyz$, hai con đường tại một nút giao thông tương ứng thuộc hai đường thẳng: $\Delta_1:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac z1$ và $\Delta_2:\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+1}{4}$.
a) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?
b) Tại nút giao thông nói trên, hai con đường tạo với nhau một góc bằng bao nhiêu độ?
a) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?
b) Tại nút giao thông nói trên, hai con đường tạo với nhau một góc bằng bao nhiêu độ?
Xem lời giải
Lời giải
Đường thẳng $\Delta_1$ qua điểm $A(2;-1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;2;1)$.
Đường thẳng $\Delta_2$ qua điểm $B(-1;2;-1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(3;1;4)$.
a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-3;3;-1),[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]=(7;-1;-5)\Rightarrow[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]\cdot\overrightarrow{AB}=-19\ne0$. Suy ra $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau. Vậy nút giao thông đó là nút giao thông khác mức.
b) Ta có $\cos(\Delta_1,\Delta_2)=\dfrac{|\overrightarrow{u_1}\cdot\overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}|\cdot|\overrightarrow{u_2}|}=\dfrac9{\sqrt6\cdot\sqrt{26}}=\dfrac9{\sqrt{156}}\Rightarrow(\Delta_1,\Delta_2)\approx43,9^\circ$.
Đường thẳng $\Delta_2$ qua điểm $B(-1;2;-1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(3;1;4)$.
a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-3;3;-1),[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]=(7;-1;-5)\Rightarrow[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]\cdot\overrightarrow{AB}=-19\ne0$. Suy ra $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau. Vậy nút giao thông đó là nút giao thông khác mức.
b) Ta có $\cos(\Delta_1,\Delta_2)=\dfrac{|\overrightarrow{u_1}\cdot\overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}|\cdot|\overrightarrow{u_2}|}=\dfrac9{\sqrt6\cdot\sqrt{26}}=\dfrac9{\sqrt{156}}\Rightarrow(\Delta_1,\Delta_2)\approx43,9^\circ$.