(CD12) Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí $A(3,5;-2;0,4)$ và sẽ hạ cánh ở vị trí $B(3,5;5,5;0)$ trên đường băng $EG$.

a) Lập phương trình đường thẳng $AB$.
b) Hãy cho biết góc trượt (góc giữa đường bay $AB$ và mặt phẳng nằm ngang $(Oxy)$) có nằm trong phạm vi cho phép từ $2,5^\circ$ đến $3,5^\circ$ hay không.
c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua ba điểm $M(5;0;0),N(0;-5;0),P(0;0;0,5)$. Tìm toạ độ của điểm $C$ là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.
d) Tìm tọa độ của điểm $D$ trên đoạn thẳng $AB$ là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m.
e) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu $E(3,5;4,5;0)$ của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m. Hỏi sau khi ra khỏi đám mây, người phi công có đạt được quy định an toàn đó hay không? Biết rằng tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900 m (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).

Question

Dạng 4. Ứng dụng (CD12) Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí $A(3,5;-2;0,4)$ và sẽ hạ cánh ở vị trí $B(3,5;5,5;0)$ trên đường băng $EG$. [IMAGE:question_images/12-CD21. PHUONG TRINH DUONG THANG/B. TU LUAN/image801.png] a) Lập phương trình đường thẳng $AB$. b) Hãy cho biết góc trượt (góc giữa đường bay $AB$ và mặt phẳng nằm ngang $(Oxy)$) có nằm trong phạm vi cho phép từ $2,5^\circ$ đến $3,5^\circ$ hay không. c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua ba điểm $M(5;0;0),N(0;-5;0),P(0;0;0,5)$. Tìm toạ độ của điểm $C$ là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh. d) Tìm tọa độ của điểm $D$ trên đoạn thẳng $AB$ là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m. e) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu $E(3,5;4,5;0)$ của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m. Hỏi sau khi ra khỏi đám mây, người phi công có đạt được quy định an toàn đó hay không? Biết rằng tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900 m (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(0;7,5;-0,4)$. Phương trình đường thẳng $AB$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=3,5\y=-2+7,5t\z=0,4-0,4t\end{array}ight.$ ($t$ là tham số). b) Phương trình mặt phẳng $(Oxy)$ là $z=0$. Ta có: $\sin(AB,(Oxy))=\dfrac{|0\cdot0+7,5\cdot0+(-0,4)\cdot1|}{\sqrt{0^2+7,5^2+(-0,4)^2}\cdot\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\dfrac{0,4}{\sqrt{56,41}}\Rightarrow(AB,(Oxy))\approx3^\circ$. Vì $2,5^\circ<3^\circ<3,5^\circ$ nên góc trượt của máy bay nằm trong phạm vi cho phép. c) Phương trình mặt phẳng $(MNP)$ là: $\dfrac x5+\dfrac y{-5}+\dfrac z{0,5}=1\Leftrightarrow x-y+10z-5=0$. Vì $C$ thuộc đường thẳng $AB$ nên $C(3,5;-2+7,5c;0,4-0,4c)$ ($c\in\mathbb R$). Mà $C$ thuộc mặt phẳng $(MNP)$ nên $3,5-(-2+7,5c)+10\cdot(0,4-0,4c)-5=0\Leftrightarrow c=\dfrac9{23}$. Suy ra $C\left(\dfrac72;\dfrac{43}{46};\dfrac{28}{115}ight)$. d) Vì $D$ thuộc $AB$ nên $D(3,5;-2+7,5d;0,4-0,4d)$ ($d\in\mathbb R$). Mà $D$ có cao độ là 0,12 nên $0,4-0,4d=0,12\Leftrightarrow d=0,7$. Vậy $D(3,5;3,25;0,12)$. e) Ta có: $DE=\sqrt{(3,5-3,5)^2+(4,5-3,25)^2+(0-0,12)^2}\approx1,26$ km. Vì $900$ m $=0,9$ km $<1,26$ km nên phi công không nhìn thấy điểm $E$ và không đạt được quy định an toàn bay.

Bài tự luận Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 41