Bài tự luận · Bài 9
Dạng 1. Lập phương trình đường thẳng Phương pháp: Để lập phương trình đường thẳng, ta thường chỉ ra toạ độ một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
Bài tự luận Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 9
(KNTT12) Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=-2+t\\y=2t\\z=1-3t\end{array}\right.$ và điểm $M(2;-2;1)$.
a) Chỉ ra một điểm thuộc $\Delta$ và một vectơ chỉ phương của $\Delta$.
b) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta'$ đi qua điểm $M$ và song song với $\Delta$.
c) Tìm điểm $I$ thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $OI=\sqrt{5}$.
d) Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ cắt và vuông góc với $\Delta$.
a) Chỉ ra một điểm thuộc $\Delta$ và một vectơ chỉ phương của $\Delta$.
b) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta'$ đi qua điểm $M$ và song song với $\Delta$.
c) Tìm điểm $I$ thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $OI=\sqrt{5}$.
d) Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ cắt và vuông góc với $\Delta$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Một điểm thuộc $\Delta$ là $A(-2;0;1)$, một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u_\Delta}=(1;2;-3)$.
b) Vì đường thẳng $\Delta'$ song song với đường thẳng $\Delta$ nên $\overrightarrow{u_\Delta}=(1;2;-3)$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta'$. Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta'$ là: $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-1}{-3}$.
c) Vì $I\in\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=-2+t\\y=2t\\z=1-3t\end{array}\right.$ nên $I(-2+t;2t;1-3t)$
$\Rightarrow OI=\sqrt{(-2+t)^2+(2t)^2+(1-3t)^2}=\sqrt{5}\Leftrightarrow14t^2-10t=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=0\\t=\dfrac57\end{array}\right.$
Do đó: $I(-2;0;1)$ hoặc $I\left(-\dfrac97;\dfrac{10}{7};-\dfrac87\right)$.
d) Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và $\Delta$. Khi đó toạ độ điểm $N$ có dạng $N(-2+t;2t;1-3t)$. Ta có: $\overrightarrow{MN}=(t-4;2t+2;-3t)$ và $\overrightarrow{u_\Delta}=(1;2;-3)$. Vì $d$ và $\Delta$ vuông góc với nhau nên $\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{u_\Delta}=0\Leftrightarrow14t=0\Leftrightarrow t=0$.
Do đó $\overrightarrow{MN}=(-4;2;0)=-2(2;-1;0)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$. Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\y=-2-t\\z=1\end{array}\right.$
b) Vì đường thẳng $\Delta'$ song song với đường thẳng $\Delta$ nên $\overrightarrow{u_\Delta}=(1;2;-3)$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta'$. Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta'$ là: $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-1}{-3}$.
c) Vì $I\in\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=-2+t\\y=2t\\z=1-3t\end{array}\right.$ nên $I(-2+t;2t;1-3t)$
$\Rightarrow OI=\sqrt{(-2+t)^2+(2t)^2+(1-3t)^2}=\sqrt{5}\Leftrightarrow14t^2-10t=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=0\\t=\dfrac57\end{array}\right.$
Do đó: $I(-2;0;1)$ hoặc $I\left(-\dfrac97;\dfrac{10}{7};-\dfrac87\right)$.
d) Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và $\Delta$. Khi đó toạ độ điểm $N$ có dạng $N(-2+t;2t;1-3t)$. Ta có: $\overrightarrow{MN}=(t-4;2t+2;-3t)$ và $\overrightarrow{u_\Delta}=(1;2;-3)$. Vì $d$ và $\Delta$ vuông góc với nhau nên $\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{u_\Delta}=0\Leftrightarrow14t=0\Leftrightarrow t=0$.
Do đó $\overrightarrow{MN}=(-4;2;0)=-2(2;-1;0)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$. Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\y=-2-t\\z=1\end{array}\right.$