Bài tự luận Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 42
(CTST12) Người ta muốn dựng một cột ăng-ten trên một sườn đồi. Ăng-ten được dựng thẳng đứng trong không gian $Oxyz$ với độ dài đơn vị trên mỗi trục bằng 1 m. Gọi $O$ là gốc cột, $A$ là điểm buộc dây cáp vào cột ăng-ten và $M,N$ là hai điểm neo dây cáp xuống mặt sườn đồi (Hình 6). Cho biết tọa độ các điểm nói trên lần lượt là $O(0;0;0),A(0;0;6),M(3;-4;3),N(-5;-2;2)$.
a) Tính độ dài các đoạn dây cáp $MA$ và $NA$.
b) Tính góc tạo bởi các sợi dây cáp $MA,NA$ với mặt phẳng sườn đồi.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $\overrightarrow{MA}=(-3;4;3),\overrightarrow{NA}=(5;2;4)$, suy ra
$MA=\sqrt{(-3)^2+4^2+3^2}=\sqrt{34}\approx5,8$ m, $NA=\sqrt{5^2+2^2+4^2}=\sqrt{45}\approx6,7$ m.
b) Mặt phẳng $(OMN)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{OM}=(3;-4;3)$, $\overrightarrow{ON}=(-5;-2;2)$ nên có vectơ pháp tuyến $n=[\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}]=(-2;-21;-26)$.
Gọi $\alpha,\beta$ lần lượt là góc tạo bởi $MA,NA$ với mặt phẳng $(OMN)$.
Ta có: $\sin\alpha=\dfrac{|\overrightarrow{MA}\cdot n|}{|\overrightarrow{MA}|\cdot|n|}=\dfrac{|-3\cdot(-2)+4\cdot(-21)+3\cdot(-26)|}{\sqrt{(-3)^2+4^2+3^2}\cdot\sqrt{(-2)^2+(-21)^2+(-26)^2}}=\dfrac{156}{\sqrt{38114}}\Rightarrow\alpha\approx53^\circ$;
$\sin\beta=\dfrac{|\overrightarrow{NA}\cdot n|}{|\overrightarrow{NA}|\cdot|n|}=\dfrac{|5\cdot(-2)+2\cdot(-21)+4\cdot(-26)|}{\sqrt{5^2+2^2+4^2}\cdot\sqrt{(-2)^2+(-21)^2+(-26)^2}}=\dfrac{156}{\sqrt{50445}}\Rightarrow\beta\approx44^\circ$.
