Bài tự luận · Bài 75
Dạng 5. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và ứng dụng Phương pháp Cho hai vectơ $a=(a_1;a_2),b=(b_1;b_2)$ và hai điểm $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)$. Ta có: - $a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2$ - $a\perp b\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2=0$; - $a$ và $b$ cùng phương $\Leftrightarrow a_1b_2-a_2b_1=0$ - $\lVert a\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ - $\cos(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\lVert a\rVert\cdot\lVert b\rVert}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$; ($a,b$ khác $0$).
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 75
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, hãy tính góc giữa hai vectơ $a$ và $b$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $a=(-3;1),b=(2;6)$.
b) $a=(3;1),b=(2;4)$.
c) $a=(-\sqrt2;1),b=(2;-\sqrt2)$.
a) $a=(-3;1),b=(2;6)$.
b) $a=(3;1),b=(2;4)$.
c) $a=(-\sqrt2;1),b=(2;-\sqrt2)$.
Xem lời giải
Lời giải
a)
$a\cdot b=(-3)\cdot2+1\cdot6=0\Rightarrow a\perp b$ hay $(a,b)=90^\circ$.
b)
$\left\{\begin{array}{l}a\cdot b=3\cdot2+1\cdot4=10\\\|a\|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10};\|b\|=2\sqrt5\end{array}\right.$
$\Rightarrow\cos(a,b)=\frac{10}{\sqrt{10}\cdot2\sqrt5}=\frac{\sqrt2}{2}$.
$\Rightarrow(a,b)=45^\circ$.
c) Dễ thấy: $a$ và $b$ cùng phương do $\frac{-\sqrt2}{2}=\frac{1}{-\sqrt2}$.
Hơn nữa: $b=(2;-\sqrt2)=-\sqrt2\cdot(-\sqrt2;1)=-\sqrt2\cdot a;-\sqrt2<0$.
Do đó: $a$ và $b$ ngược hướng.
$\Rightarrow(a,b)=180^\circ$.
$a\cdot b=(-3)\cdot2+1\cdot6=0\Rightarrow a\perp b$ hay $(a,b)=90^\circ$.
b)
$\left\{\begin{array}{l}a\cdot b=3\cdot2+1\cdot4=10\\\|a\|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10};\|b\|=2\sqrt5\end{array}\right.$
$\Rightarrow\cos(a,b)=\frac{10}{\sqrt{10}\cdot2\sqrt5}=\frac{\sqrt2}{2}$.
$\Rightarrow(a,b)=45^\circ$.
c) Dễ thấy: $a$ và $b$ cùng phương do $\frac{-\sqrt2}{2}=\frac{1}{-\sqrt2}$.
Hơn nữa: $b=(2;-\sqrt2)=-\sqrt2\cdot(-\sqrt2;1)=-\sqrt2\cdot a;-\sqrt2<0$.
Do đó: $a$ và $b$ ngược hướng.
$\Rightarrow(a,b)=180^\circ$.