Bài tự luận Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng · Bài 28

a) Ta có $BC\perp AB$ (vì $ABCD$ là hình vuông) và $SA\perp BC$ (vì $SA\perp (ABCD)$), suy ra $BC\perp (SAB)$.
Ta có $CD\perp AD$ (vì $ABCD$ là hình vuông) và $SA\perp CD$ (vì $SA\perp (ABCD)$), suy ra $CD\perp (SAD)$.
Ta có $BD\perp AC$ (vì $ABCD$ là hình vuông) và $SA\perp BD$ (vì $SA\perp (ABCD)$), suy ra $BD\perp (SAC)$.
b) Ta có $BC\perp (SAB)$ và $AH\subset (SAB)$, suy ra $BC\perp AH$. Mặt khác $AH\perp SB$, suy ra $AH\perp (SBC)$, suy ra $AH\perp SC$.(1)
Tương tự ta có $AK\perp CD$ và $AK\perp SD$, suy ra $AK\perp (SCD)$, suy ra $AK\perp SC$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra $SC\perp (AHK)$.
Ta có $SC\perp (AHK)$ và $AI\perp SC$, suy ra $I\in (AHK)$.
c) Ta có $SA\perp (ABCD)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} SA\perp AB \\ SA\perp AD \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \widehat { SAB }=90^{\circ} \\ \widehat { SAD }=90^{\circ} \end{array} \right.$
Xét $\Delta SAB$ và $\Delta SAD$, ta có:
SA là cạnh chung;
$\widehat { SAB }= \widehat { SAD }=90^{\circ} ; \\ AB=AD.$
Suy ra $\Delta SAB=\Delta SAD$ (c.g.c), suy ra $SB=SD,SH=SK$. Suy ra $\frac{SH}{SB}=\frac{SK}{SD}$. Vậy $HK \parallel BD$.
Theo câu a) ta có $BD\perp (SAC)$, suy ra $HK\perp (SAC)$. Ta lại có $AI\subset (SAC)$, suy ra $HK\perp AI$.