(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $y=f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên $m\in \left[ -5\,;\,5 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( x+m \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1\,;\,2 \right)$. Hỏi $S$ có bao nhiêu phần tử?

Question

Dạng 7. Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài toán khác (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $y=f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên $m\in \left[ -5\,;\,5 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( x+m \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1\,;\,2 \right)$. Hỏi $S$ có bao nhiêu phần tử? [IMAGE:question_images/12-CD1. TINH DON DIEU 2026/F. BAI TAP NANG CAO - DA/image588.png]

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có $g'\left( x ight)=f'\left( x+m ight)$. Vì $y=f'\left( x ight)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $g'\left( x ight)=f'\left( x+m ight)$ cũng liên tục trên $\mathbb{R}$. Căn cứ vào đồ thị hàm số $y=f'\left( x ight)$ ta thấy $g'\left( x ight)<0\Leftrightarrow f'\left( x+m ight)<0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x+m<-1 \ 1<x+m<3 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x<-1-m \ 1-m<x<3-m \end{array} ight.$. Hàm số $g\left( x ight)=f\left( x+m ight)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1\,;\,2 ight)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2\leq -1-m \ \left\{ \begin{array}{l} 3-m\geq 2 \ 1-m\leq 1 \end{array} ight. \end{array} ight.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m\leq -3 \ 0\leq m\leq 1 \end{array} ight.$. Mà $m$ là số nguyên thuộc đoạn $\left[ -5\,;\,5 ight]$ nên ta có $S=\left\{ -5;-4;-3;0;1 ight\}$. Vậy $S$ có 5 phần tử.

Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 38