Bài tập nâng cao · Bài 31
Dạng 7. Số điểm cực trị của hàm hợp chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 31
(Sở Nam Định - 2021) Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $có đạo hàm liên tục trên $ \mathbb{R} $ và $ f\left ( { -3 } \right )=0 $ đồng thời có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số $ g\left ( { x } \right )=\left | { 2\left ( { x+1 } \right ) ^ { 6 } -6\left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } -3f\left ( { -x ^ { 4 } -4x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2 } \right ) } \right | $ có bao nhiêu điểm cực trị?
Hàm số $ g\left ( { x } \right )=\left | { 2\left ( { x+1 } \right ) ^ { 6 } -6\left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } -3f\left ( { -x ^ { 4 } -4x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2 } \right ) } \right | $ có bao nhiêu điểm cực trị?
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ h\left ( { x } \right )=2\left ( { x+1 } \right ) ^ { 6 } -6\left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } -3f\left ( { -x ^ { 4 } -4x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2 } \right ) $
$ \Rightarrow h'\left ( { x } \right )=12\left ( { x+1 } \right ) ^ { 5 } -12\left ( { x+1 } \right )-3\left ( { -4x ^ { 3 } -12x ^ { 2 } -8x } \right ).f'\left ( { -x ^ { 4 } -4x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2 } \right ) $
$ =12\left ( { x+1 } \right )\left ( { x ^ { 2 } +2x } \right )\left ( { x ^ { 2 } +2x+2 } \right )+12\left ( { x+1 } \right )\left ( { x ^ { 2 } +2x } \right ).f'\left ( { -x ^ { 4 } -4x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2 } \right ) $
$ =12(x+1)\left ( { x ^ { 2 } +2x } \right )\left[ x ^ { 2 } +2x+2+f'\left ( { -x ^ { 4 } -4x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2 } \right ) \right] $
Mà $ -x ^ { 4 } -4x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2=-\left[ x\left ( { x+2 } \right ) \right] ^ { 2 } -2\leq -2 $,$ ∀x\in \mathbb{R} $ nên dựa vào bảng xét dấu của $ f'\left ( { x } \right ) $ ta suy ra $ f'\left ( { -x ^ { 4 } -4x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2 } \right )\geq 0 $.
$ \Rightarrow x ^ { 2 } +2x+2+f'\left ( { -x ^ { 4 } -4x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2 } \right )>0,∀x\in \mathbb{R} $
Do đó dấu của $ h'\left ( { x } \right ) $ cùng dấu với $ u\left ( { x } \right )=12\left ( { x+1 } \right )\left ( { x ^ { 2 } +2x } \right ) $, tức là đổi dấu khi đi qua các điểm $ x=-2;\,x=-1;\,x=0 $.
Vậy hàm số $ h\left ( { x } \right ) $ có 3 điểm cực trị.
Ta có $ h\left ( { -1 } \right )=-3f\left ( { -3 } \right )=0 $ nên đồ thị hàm số $ y=h\left ( { x } \right ) $ tiếp xúc $ { \rm{ O } }{ \rm{ x } } $tại $ x=-1 $và cắt trục $ Ox $tại 3 điểm phân biệt.
Vậy $ y=g\left ( { x } \right ) $ có 5 điểm cực trị.
$ \Rightarrow h'\left ( { x } \right )=12\left ( { x+1 } \right ) ^ { 5 } -12\left ( { x+1 } \right )-3\left ( { -4x ^ { 3 } -12x ^ { 2 } -8x } \right ).f'\left ( { -x ^ { 4 } -4x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2 } \right ) $
$ =12\left ( { x+1 } \right )\left ( { x ^ { 2 } +2x } \right )\left ( { x ^ { 2 } +2x+2 } \right )+12\left ( { x+1 } \right )\left ( { x ^ { 2 } +2x } \right ).f'\left ( { -x ^ { 4 } -4x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2 } \right ) $
$ =12(x+1)\left ( { x ^ { 2 } +2x } \right )\left[ x ^ { 2 } +2x+2+f'\left ( { -x ^ { 4 } -4x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2 } \right ) \right] $
Mà $ -x ^ { 4 } -4x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2=-\left[ x\left ( { x+2 } \right ) \right] ^ { 2 } -2\leq -2 $,$ ∀x\in \mathbb{R} $ nên dựa vào bảng xét dấu của $ f'\left ( { x } \right ) $ ta suy ra $ f'\left ( { -x ^ { 4 } -4x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2 } \right )\geq 0 $.
$ \Rightarrow x ^ { 2 } +2x+2+f'\left ( { -x ^ { 4 } -4x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2 } \right )>0,∀x\in \mathbb{R} $
Do đó dấu của $ h'\left ( { x } \right ) $ cùng dấu với $ u\left ( { x } \right )=12\left ( { x+1 } \right )\left ( { x ^ { 2 } +2x } \right ) $, tức là đổi dấu khi đi qua các điểm $ x=-2;\,x=-1;\,x=0 $.
Vậy hàm số $ h\left ( { x } \right ) $ có 3 điểm cực trị.
Ta có $ h\left ( { -1 } \right )=-3f\left ( { -3 } \right )=0 $ nên đồ thị hàm số $ y=h\left ( { x } \right ) $ tiếp xúc $ { \rm{ O } }{ \rm{ x } } $tại $ x=-1 $và cắt trục $ Ox $tại 3 điểm phân biệt.
Vậy $ y=g\left ( { x } \right ) $ có 5 điểm cực trị.