Bài tập nâng cao · Bài 30
Dạng 7. Số điểm cực trị của hàm hợp chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 30
(Sở Quảng Bình - 2021) Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx+1,{ \rm{ } }\left ( { a\neq 0 } \right ) $ với các số thực $ a,b,c $ thỏa mãn $ a+b+c>2019 $ và $ \mathop { lim } \limits_{ x\to +\infty } f\left ( { x } \right )=-\infty $. Tìm số điểm cực trị của hàm số $ y=\left | { g\left ( { x-2019 } \right ) } \right | $ với $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { x } \right )-2020 $
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
Số điểm cực trị của hàm số $ y=\left | { g\left ( { x-2019 } \right ) } \right | $ bằng với số điểm cực trị của hàm số $ y=\left | { g\left ( { x } \right ) } \right | $
Mà $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { x } \right )-2020=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx-2019 $
Có $ \mathop { lim } \limits_{ x\to +\infty } f\left ( { x } \right )=-\infty \Rightarrow a < 0\Rightarrow \mathop { lim } \limits_{ x\to +\infty } g\left ( { x } \right )=-\infty \Rightarrow $ tồn tại số $ \alpha >1 $ thỏa mãn $ g\left ( { \alpha } \right ) < 0 $
Có $ a < 0\Rightarrow \mathop { lim } \limits_{ x\to -\infty } g\left ( { x } \right )=+\infty \Rightarrow $ tồn tại số $ \beta < 0 $ thỏa mãn $ g\left ( { \beta } \right )>0 $
$ g\left ( { 1 } \right )=a+b+c-2019>0 $
$ g\left ( { 0 } \right )=-2019 < 0 $
Vậy $ g\left ( { 1 } \right ).g\left ( { \alpha } \right ) < 0 $ và $ g\left ( { 1 } \right ).g\left ( { 0 } \right ) < 0,g\left ( { 0 } \right ).g\left ( { \beta } \right ) < 0 $, mà $ g\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ suy ra phương trình $ g\left ( { x } \right )=0 $ có 3 nghiệm phân biệt.
Từ đó đồ thị hàm số $ y=g\left ( { x } \right ) $ có 2 điểm cực trị và cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Vậy hàm số $ y=\left | { g\left ( { x } \right ) } \right | $ có 5 điểm cực trị. Tức là số điểm cực trị của hàm số $ y=\left | { g\left ( { x-2019 } \right ) } \right | $ là 5.
Số điểm cực trị của hàm số $ y=\left | { g\left ( { x-2019 } \right ) } \right | $ bằng với số điểm cực trị của hàm số $ y=\left | { g\left ( { x } \right ) } \right | $
Mà $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { x } \right )-2020=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx-2019 $
Có $ \mathop { lim } \limits_{ x\to +\infty } f\left ( { x } \right )=-\infty \Rightarrow a < 0\Rightarrow \mathop { lim } \limits_{ x\to +\infty } g\left ( { x } \right )=-\infty \Rightarrow $ tồn tại số $ \alpha >1 $ thỏa mãn $ g\left ( { \alpha } \right ) < 0 $
Có $ a < 0\Rightarrow \mathop { lim } \limits_{ x\to -\infty } g\left ( { x } \right )=+\infty \Rightarrow $ tồn tại số $ \beta < 0 $ thỏa mãn $ g\left ( { \beta } \right )>0 $
$ g\left ( { 1 } \right )=a+b+c-2019>0 $
$ g\left ( { 0 } \right )=-2019 < 0 $
Vậy $ g\left ( { 1 } \right ).g\left ( { \alpha } \right ) < 0 $ và $ g\left ( { 1 } \right ).g\left ( { 0 } \right ) < 0,g\left ( { 0 } \right ).g\left ( { \beta } \right ) < 0 $, mà $ g\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ suy ra phương trình $ g\left ( { x } \right )=0 $ có 3 nghiệm phân biệt.
Từ đó đồ thị hàm số $ y=g\left ( { x } \right ) $ có 2 điểm cực trị và cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Vậy hàm số $ y=\left | { g\left ( { x } \right ) } \right | $ có 5 điểm cực trị. Tức là số điểm cực trị của hàm số $ y=\left | { g\left ( { x-2019 } \right ) } \right | $ là 5.