Bài tập nâng cao · Bài 49
Dạng 2. Tìm điểm
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 49
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $d:2x-3y+3=0$ và điểm $M(8;2)$. Tọa độ của điểm $M'$ đối xứng với điểm $M$ qua đường thẳng $d$ là
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $d'$ là đường thẳng đi qua $M(8;2)$ và vuông góc với đường thẳng $d$. Khi đó đường thẳng $d'$ có vectơ chỉ phương là $\vec v=(2;-3)$, suy ra vectơ pháp tuyến là $\vec n=(3;2)$. Phương trình $d'$ là $3(x-8)+2(y-2)=0\Leftrightarrow3x+2y-28=0$.
Giao điểm $I$ của hai đường thẳng $d$ và $d'$ có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình $\begin{cases}2x-3y+3=0\\3x+2y-28=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=6\\y=5\end{cases}\Rightarrow I(6;5)$.
Điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $d$. Khi đó điểm $I$ là trung điểm của đoạn $MM'$. Ta có $\begin{cases}x_{M'}=2x_I-x_M\\y_{M'}=2y_I-y_M\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_{M'}=2\cdot6-8=4\\y_{M'}=2\cdot5-2=8\end{cases}\Rightarrow M'(4;8)$.
Giao điểm $I$ của hai đường thẳng $d$ và $d'$ có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình $\begin{cases}2x-3y+3=0\\3x+2y-28=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=6\\y=5\end{cases}\Rightarrow I(6;5)$.
Điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $d$. Khi đó điểm $I$ là trung điểm của đoạn $MM'$. Ta có $\begin{cases}x_{M'}=2x_I-x_M\\y_{M'}=2y_I-y_M\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_{M'}=2\cdot6-8=4\\y_{M'}=2\cdot5-2=8\end{cases}\Rightarrow M'(4;8)$.