Bài tập nâng cao · Bài 57
Dạng 2. Tìm điểm
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 57
Cho tam giác $ABC$, biết $A(1;1),B(3;2)$ và điểm $C$ thuộc đường thẳng $3x-y=0$. Xác định điểm $C$ sao cho cosin của góc giữa hai đường thẳng $AB,AC$ là $\frac{1}{\sqrt5}$.
Xem lời giải
Lời giải
Vì $C\in(\Delta):3x-y=0\Rightarrow C(c;3c)$.
Ta có: $\overrightarrow{AB}=(2;1) \\ \overrightarrow{AC}=(c-1;3c-1)$.
Theo đề, ta có: $\cos(AB,AC)=\cos|\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)|=\frac{|\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|}=\frac{1}{\sqrt5}$.
$\Leftrightarrow \frac{|2(c-1)+3c-1|}{\sqrt5.\sqrt{(c-1)^2+(3c-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt5}$.
$\Leftrightarrow (2(c-1)+3c-1)^2=(c-1)^2+(3c-1)^2$.
$\Leftrightarrow 15c^2-22c+7=0$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c=1 \\ c=\frac{7}{15} \end{array} \right.$.
Với $c=1\Rightarrow C(1;3)$.
Với $c=\frac{7}{15}\Rightarrow C\left(\frac{7}{15};\frac{21}{15}\right)$.
Vậy $C(1;3)$ hoặc $C\left(\frac{7}{15};\frac{21}{15}\right)$.
Ta có: $\overrightarrow{AB}=(2;1) \\ \overrightarrow{AC}=(c-1;3c-1)$.
Theo đề, ta có: $\cos(AB,AC)=\cos|\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)|=\frac{|\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|}=\frac{1}{\sqrt5}$.
$\Leftrightarrow \frac{|2(c-1)+3c-1|}{\sqrt5.\sqrt{(c-1)^2+(3c-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt5}$.
$\Leftrightarrow (2(c-1)+3c-1)^2=(c-1)^2+(3c-1)^2$.
$\Leftrightarrow 15c^2-22c+7=0$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c=1 \\ c=\frac{7}{15} \end{array} \right.$.
Với $c=1\Rightarrow C(1;3)$.
Với $c=\frac{7}{15}\Rightarrow C\left(\frac{7}{15};\frac{21}{15}\right)$.
Vậy $C(1;3)$ hoặc $C\left(\frac{7}{15};\frac{21}{15}\right)$.