Bài tự luận · Bài 8
Bài tự luận Tích phân · Bài 8
Tính các tích phân sau:
a) $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } -2e ^ { x } } \right ) }dx $
b) $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 3x ^ { 3 } +5x ^ { 2 } -6x+4 } { 2x } }dx $;
c) $ \int _{ 1 }^{ e } { \frac { x ^ { 2 } -3\sqrt[] { x }+x\cdot 2 ^ { x } } { x } }dx $
d) $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 3 } } { | }cosx-sinx|dx $
a) $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } -2e ^ { x } } \right ) }dx $
b) $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 3x ^ { 3 } +5x ^ { 2 } -6x+4 } { 2x } }dx $;
c) $ \int _{ 1 }^{ e } { \frac { x ^ { 2 } -3\sqrt[] { x }+x\cdot 2 ^ { x } } { x } }dx $
d) $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 3 } } { | }cosx-sinx|dx $
Xem lời giải
Lời giải
a) $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } -2e ^ { x } } \right ) }dx=3\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } }dx-2\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { x } }dx=\left | { x ^ { 3 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\left | { 2e ^ { x } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=3-2e $.
b) $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 3x ^ { 3 } +5x ^ { 2 } -6x+4 } { 2x } }dx=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 3x ^ { 3 } } { 2x }+\frac { 5x ^ { 2 } } { 2x }-\frac { 6x } { 2x }+\frac { 4 } { 2x } } \right ) }dx =\frac { 3 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 2 } { x ^ { 2 } }dx+\frac { 5 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 2 } { x }dx-3\int _{ 1 }^{ 2 } { d }x+2\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 1 } { x } }dx =\left | { \frac { x ^ { 3 } } { 2 } } \right ._{ 1 } ^{ 2 }+\left | { \frac { 5x ^ { 2 } } { 4 } } \right ._{ 1 } ^{ 2 }-\left | { 3x } \right ._{ 1 } ^{ 2 }+\left | { 2ln|x| } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 17 } { 4 }+2ln2 $.
c) $ \int _{ 1 }^{ e } { \frac { x ^ { 2 } -3\sqrt[] { x }+x\cdot 2 ^ { x } } { x } }dx=\int _{ 1 }^{ e } { x }dx-3\int _{ 1 }^{ e } { x ^ { -\frac { 1 } { 2 } } }dx+\int _{ 1 }^{ e } { 2 ^ { x } }dx =\left | { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ._{ 1 } ^{ e }-\left | { 6\sqrt[] { x } } \right ._{ 1 } ^{ e }+\left | { \frac { 2 ^ { x } } { ln2 } } \right ._{ 1 } ^{ e }=\frac { e ^ { 2 } } { 2 }-6\sqrt[] { e }+\frac { 11 } { 2 }+\frac { 2 ^ { e } -2 } { ln2 }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
d) Ta có $ cosx-sinx=0 $ có nghiệm $ x=\frac { \pi } { 4 } $ trên đoạn $ \left[ 0;\frac { \pi } { 3 } \right] $. Do đó:
$\int_0^{\frac\pi3}|\cos x-\sin x|\,dx=\int_0^{\frac\pi4}(\cos x-\sin x)\,dx+\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}(\sin x-\cos x)\,dx=2\sqrt2-\frac{\sqrt3}{2}-\frac32$.
b) $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 3x ^ { 3 } +5x ^ { 2 } -6x+4 } { 2x } }dx=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 3x ^ { 3 } } { 2x }+\frac { 5x ^ { 2 } } { 2x }-\frac { 6x } { 2x }+\frac { 4 } { 2x } } \right ) }dx =\frac { 3 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 2 } { x ^ { 2 } }dx+\frac { 5 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 2 } { x }dx-3\int _{ 1 }^{ 2 } { d }x+2\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 1 } { x } }dx =\left | { \frac { x ^ { 3 } } { 2 } } \right ._{ 1 } ^{ 2 }+\left | { \frac { 5x ^ { 2 } } { 4 } } \right ._{ 1 } ^{ 2 }-\left | { 3x } \right ._{ 1 } ^{ 2 }+\left | { 2ln|x| } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 17 } { 4 }+2ln2 $.
c) $ \int _{ 1 }^{ e } { \frac { x ^ { 2 } -3\sqrt[] { x }+x\cdot 2 ^ { x } } { x } }dx=\int _{ 1 }^{ e } { x }dx-3\int _{ 1 }^{ e } { x ^ { -\frac { 1 } { 2 } } }dx+\int _{ 1 }^{ e } { 2 ^ { x } }dx =\left | { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ._{ 1 } ^{ e }-\left | { 6\sqrt[] { x } } \right ._{ 1 } ^{ e }+\left | { \frac { 2 ^ { x } } { ln2 } } \right ._{ 1 } ^{ e }=\frac { e ^ { 2 } } { 2 }-6\sqrt[] { e }+\frac { 11 } { 2 }+\frac { 2 ^ { e } -2 } { ln2 }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
d) Ta có $ cosx-sinx=0 $ có nghiệm $ x=\frac { \pi } { 4 } $ trên đoạn $ \left[ 0;\frac { \pi } { 3 } \right] $. Do đó:
$\int_0^{\frac\pi3}|\cos x-\sin x|\,dx=\int_0^{\frac\pi4}(\cos x-\sin x)\,dx+\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}(\sin x-\cos x)\,dx=2\sqrt2-\frac{\sqrt3}{2}-\frac32$.