Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 33

Vì $B\in BM$ nên tọa độ điểm $B$ có dạng $B(-7b+10;b)$.
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Khi đó tọa độ điểm $G$ là nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases}x+7y-10=0\\x-2y+2=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac23\\y=\frac43\end{cases}\Rightarrow G\left(\frac23;\frac43\right)$.
Gọi $P(x;y)$ là trung điểm của $BC$. Khi đó $AP$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$.
Suy ra $\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AP}\Leftrightarrow\begin{cases}\frac23-1=\frac23(x-1)\\\frac43-3=\frac23(y-3)\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac12\\y=\frac12\end{cases}\Rightarrow P\left(\frac12;\frac12\right)$.
Vì $P$ là trung điểm của $BC$ nên $\begin{cases}x_C=2x_P-x_B\\y_C=2y_P-y_B\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_C=7b-9\\y_C=1-b\end{cases}\Rightarrow C(7b-9;1-b)$.
Vì $C\in CN$ nên $7b-9-2(1-b)+2=0\Leftrightarrow b=1$.
Khi đó $B(3;1)$, $C(-2;0)$.
Vậy phương trình đường thẳng $BC$ đi qua hai điểm $B$ và $C$ là $x-5y+2=0$.