Cho tứ diện $S.ABC$ có $D,E$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $AC$ cắt $SE,SB$ lần lượt tại $M,N$. Một mặt phẳng $\left( \beta \right)$ đi qua $BC$ cắt $SD,SA$ tương ứng tại $P$ và $Q$.
a) Gọi $I=AM\cap DN,J=BP\cap EQ$. Chứng minh $S,I,J,G$ thẳng hàng.
b) Giả sử $K=AN\cap DM,L=BQ\cap EP$. Chứng minh $S,K,L$ thẳng hàng.

Question

DẠNG 4: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng nên thẳng hàng. Cho tứ diện $S.ABC$ có $D,E$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $AC$ cắt $SE,SB$ lần lượt tại $M,N$. Một mặt phẳng $\left( \beta \right)$ đi qua $BC$ cắt $SD,SA$ tương ứng tại $P$ và $Q$. a) Gọi $I=AM\cap DN,J=BP\cap EQ$. Chứng minh $S,I,J,G$ thẳng hàng. b) Giả sử $K=AN\cap DM,L=BQ\cap EP$. Chứng minh $S,K,L$ thẳng hàng.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-10. DUONG THANG, MP TRONG KG/F. BAI TAP NANG CAO/image790.png] a) Ta có: $S\in\left( SAE ight)\cap\left( SBD ight)$, (1) $G=AE\cap BD\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} G\in AE\subset\left( SAE ight) \ G\in BD\subset\left( SBD ight) \end{array} ight.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} G\in\left( SAE ight) \ G\in\left( SBD ight) \end{array} ight.$ $\left( 2 ight)$ $I=AM\cap DN\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} I\in DN\subset\left( SBD ight) \ I\in AM\subset\left( SAE ight) \end{array} ight.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} I\in\left( SBD ight) \ I\in\left( SAE ight) \end{array} ight.$ $\left( 3 ight)$ $J=BP\cap EQ\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} J\in BP\subset\left( SBD ight) \ J\in EQ\subset\left( SAE ight) \end{array} ight.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} J\in\left( SBD ight) \ J\in\left( SAE ight) \end{array} ight.$ $\left( 4 ight)$ Từ (1),(2),(3) và (4) ta có $S,I,J,G$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( SBD ight)$ và $\left( SAE ight)$ nên chúng thẳng hàng. b) [IMAGE:question_images/11-10. DUONG THANG, MP TRONG KG/F. BAI TAP NANG CAO/image799.png] Ta có: $S\in\left( SAB ight)\cap\left( SDE ight)$ $K=AN\cap DM\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} K\in AN\subset\left( SAB ight) \ K\in DM\subset\left( SDE ight) \end{array} ight.\Rightarrow K\in\left( SAB ight)\cap\left( SDE ight)$ $L=BQ\cap EP\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} L\in BQ\subset\left( SAB ight) \ L\in EP\subset\left( SDE ight) \end{array} ight.\Rightarrow L\in\left( SAB ight)\cap\left( SDE ight)$ Vậy $S,K,L$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( SAB ight)$ và $\left( SDE ight)$ nên chúng thẳng hàng.

Bài tập nâng cao Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian · Bài 30