Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 13
Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy bay hoặc tàu thuỷ hoạt động trên biển. Trong hệ thống đó có hai đài vô tuyến đặt lần lượt tại địa điểm $A$ và địa điểm $B$, khoảng cách $AB=650\,\text{km}$. Giả sử có một con tàu chuyển động trên biển với quỹ đạo nằm trên một nhánh hypebol nhận $A$ và $B$ là hai tiêu điểm như Hình 18.
Khi đang ở vị trí $P$, máy thu tín hiệu trên con tàu chuyển đổi chênh lệch thời gian nhận các tín hiệu từ $A$ và $B$ thành hiệu khoảng cách $\mid PA-PB\mid$. Giả sử thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ $B$ trước khi nhận được tín hiệu từ $A$ là 0,0012 s. Vận tốc di chuyển của tín hiệu là $3\cdot 10^{8}\,\text{m/s}$.
a) Lập phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu.
b) Chứng tỏ rằng tại mọi thời điểm trên quỹ đạo chuyển động thì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ $B$ trước khi nhận được tín hiệu từ $A$ luôn là $0,0012 s$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ $B$ trước khi nhận được tín hiệu từ $A$ là 0,0012 s nên tại thời điểm đó $PB-PA=3\cdot 10^{8}\cdot 0,0012=360000$ m $=360$ km.
Vì con tàu chuyển động với quỹ đạo là hypebol nhận $A$ và $B$ là hai tiêu điểm nên $\left| PA-PB \right|=360(\text{km})$ với mọi vị trí của P.
Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của $AB$ và trục $Ox$ trùng với $AB$, đơn vị trên hai trục là km thì hypebol này có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2} }-\frac{y^{2}}{b^{2} }=1(a>0,b>0)$.
Vì $\mid PA-PB\mid =360$ nên $2a=360$, suy ra $a=180$.
Theo đề bài, $AB=650$, suy ra $2c=650$, suy ra $c=325$.
$b^{2} =c^{2} -a^{2} =325^{2} -180^{2} =73225.$
Vậy phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu là $\frac{x^{2}}{32400}-\frac{y^{2}}{73225}=1$.
b) Vì con tàu chỉ chuyển động ở nhánh bên phải trục $Oy$ của hypebol nên ta $PB < PA$ với mọi vị trí của P. Do đó tàu luôn nhận được tín hiệu từ $B$ trước khi nhận được tín hiệu từ $A$.
Gọi $t_{1}$ là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ $A$, $t_{2}$ là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ $B$ thì $t_{1}=\frac{PA}{v},t_{2}=\frac{PB}{v}$ với v là vận tốc di chuyển của tín hiệu.
Khi đó, ta có: $t_{1}-t_{2}=\frac{PA-PB}{v}=\frac{360000}{3\cdot 10^{8}}=0,0012(\text{s})$
Vậy thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ $B$ trước khi nhận được tín hiệu từ $A$ luôn là $0,0012 s$.
