Bài tập nâng cao Tổng và hiệu của hai vectơ · Bài 23
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ có tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là điểm đối xứng với $C$ qua $D$. Hãy tính độ dài của các vectơ sau: $\overrightarrow{MD}$, $\overrightarrow{MN}$.
Xem lời giải
Lời giải
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $MAD$ ta có
$DM^2=AM^2+AD^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+a^2=\frac{5a^2}{4} \Rightarrow DM=\frac{a\sqrt{5}}{2}$. Suy ra $\left|\overrightarrow{MD}\right|=MD=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $AD$ cắt $AB$ tại $P$.
Khi đó tứ giác $ADNP$ là hình vuông và $PM=PA+AM=a+\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$.
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $NPM$ ta có
$MN^2=NP^2+PM^2=a^2+\left(\frac{3a}{2}\right)^2=\frac{13a^2}{4} \Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{13}}{2}$. Suy ra $\left|\overrightarrow{MN}\right|=MN=\frac{a\sqrt{13}}{2}$.
