Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thoi tâm $ O $ cạnh $ a $, $ BD=a $, cạnh $ SO⊥\left ( { ABCD } \right ) $. $ M $ và $ N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ BC $ và $ SD $, góc giữa đường thẳng $ MN $ và mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ bằng $ 45° $.

a) Sai vì $ BC $ không vuông góc với $ SB $. b) Đúng. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} BD⊥AC \\ BD⊥SO \end{array} \right.⇒BD⊥\left ( { SAC } \right ) $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} BO⊥\left ( { SAC } \right ) \\ SB∩\left ( { ABCD } \right )=S \end{array} \right.⇒ $ $ SO $ là hình chiếu của $ SB $ trên mặt phẳng $ \left ( { SAC } \right ) $. c) Đúng. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} SO⊥\left ( { ABCD } \right ) \\ SB∩\left ( { ABCD } \right )=B \end{array} \right.⇒ $góc giữa đường thẳng $ SB $ và mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ bằng góc $ \widehat { SBO } $. d) Sai. Gọi $ H $ là trung điểm của $ OD $. Khi đó $ NH\,{ \rm{ // } }\,{ \rm{ SO } } $. Suy ra $ NH⊥\left ( { ABCD } \right ) $ và $ \widehat { NMH }=45° $. Xét $ ΔBMH $ ta có $ BH=\frac { 3a } { 4 } $, $ BM=\frac { a } { 2 } $, $ \widehat { MBH }=60° $. Do đó$ MH=\sqrt[] { BM ^ { 2 } +BH ^ { 2 } -2BM.BH.\cos60° }=\sqrt[] { \frac { a ^ { 2 } } { 4 }+\frac { 9a ^ { 2 } } { 16 }-2.\frac { a } { 2 }.\frac { 3a } { 4 }.\frac { 1 } { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 7 } } { 4 } $. Do $ ΔMHN $ vuông cân tại $ H $ nên $ HN=\frac { a\sqrt[] { 7 } } { 4 } $, $ MN=\frac { a\sqrt[] { 14 } } { 4 } $. Kẻ $ MK $ vuông góc với $ OC $ tại $ K $, $ MK∩CD=P $. Suy ra $ K $, $ P $ lần lượt là trung điểm của $ OC $, $ CD $ và $ MK⊥\left ( { SAC } \right ) $. Do vậy $ \sin\,α=\cos \widehat { NMK }=\cos \widehat { NMP } $. Từ $ MK⊥\left ( { SAC } \right ) $ ta có $ MK⊥SC $. Mặt khác $ NP\,{ \rm{ // } }\,SC $. Suy ra $ MK⊥NP $ hay $ MP⊥NP $. Do đó $ \sinα=\frac { MP } { MN }=\frac { \frac { a } { 2 } } { \frac { a\sqrt[] { 14 } } { 4 } }=\frac { \sqrt[] { 14 } } { 7 } $.