Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $; $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $ và $ SA=a\sqrt[] { 2 } $. Gọi $ M $ là trung điểm $ SB $. Khi đó:

a) Sai. Giả sử $ A $ là hình chiếu vuông góc của $ C $ trên mặt phẳng $ \left ( { SAD } \right ) $ khi đó $ AC⊥\left ( { SAD } \right ) $ Mặt khác $ \left \{ \begin{array}{l} DC⊥AD \\ SA⊥\left ( { ABCD } \right )⇒DC⊥SA \end{array} \right.⇒DC⊥\left ( { SAD } \right ) $ Suy ra $ AC≡DC $ (vô lí) b) Đúng. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} SA⊥\left ( { ABCD } \right ) \\ SB∩\left ( { ABCD } \right )=B \end{array} \right.⇒ $ $ AB $ là hình chiếu vuông góc của $ SB $ trên mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $. c) Sai. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} SA⊥\left ( { ABCD } \right ) \\ SC∩\left ( { ABCD } \right )=C \end{array} \right.⇒ $ $ AC $ là hình chiếu vuông góc của $ SC $ trên mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $. Suy ra góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $là góc $ \widehat { SCA } $. $ \tan \widehat { SCA }=\frac { SA } { AC }=1⇒ \widehat { SCA }=45° $ d) Đúng. Gọi $ N $ là trung điểm của $ AB $. Ta có $ MN $ là đường trung bình của $ ΔSAB $ nên $ MN $// $ SA $ và $ MN=\frac { 1 } { 2 }SA=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $. Mà $ SA⊥\left ( { ABCD } \right )⇒MN⊥\left ( { ABCD } \right ) $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} MN⊥\left ( { ABCD } \right ) \\ MD∩\left ( { ABCD } \right )=D \end{array} \right.⇒ $ $ ND $ là hình chiếu vuông góc của $ MD $ trên mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $. Suy ra góc giữa $ MD $ và mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ là góc $ \widehat { MDN } $. Ta có $ DN=\sqrt[] { AD ^ { 2 } +AN ^ { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 5 } } { 2 } $. Xét $ ΔMND $ vuông tại $ N $, có $ tan \widehat { MDN }=\frac { MN } { DN }=\frac { \sqrt[] { 10 } } { 5 } $