Bài tự luận · Bài 18
Trong các bài tập dưới đây, nếu không nói gì thêm thì làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn.
Bài tự luận Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes · Bài 18
(CTST12) Một công ty công nghệ cung cấp hai phiên bản Basic và Pro của một phần mềm. Tỉ lệ người sử dụng hai phiên bản này lần lượt là $80\%$ và $20\%$. Kết quả điều tra cho thấy có $30\%$ người dùng phiên bản Basic sẽ mua bản cập nhật sau 1 năm sử dụng; còn tỉ lệ này của phiên bản Pro là $50\%$.
Chọn ngẫu nhiên một người sử dụng phần mềm trên của công ty.
a) Tính xác suất để người này mua bản cập nhật sau 1 năm sử dụng.
b) Biết người dùng mua bản cập nhật sau 1 năm sử dụng, tính xác suất người đó sử dụng phiên bản Basic ở năm đầu tiên.
Chọn ngẫu nhiên một người sử dụng phần mềm trên của công ty.
a) Tính xác suất để người này mua bản cập nhật sau 1 năm sử dụng.
b) Biết người dùng mua bản cập nhật sau 1 năm sử dụng, tính xác suất người đó sử dụng phiên bản Basic ở năm đầu tiên.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $A$ là biến cố "Người dùng mua bản cập nhật sau 1 năm sử dụng" và $B$ là biến cố "Người dùng sử dụng phiên bản Basic ở năm đầu tiên".
Do tỉ lệ người sử dụng hai phiên bản Basic và Pro lần lượt là $80\%$ và $20\%$ nên
$P(B)=0,8$ và $P( \bar{B})=0,2.$
Qua kết quả điều tra, có $30\%$ người dùng phiên bản Basic sẽ mua bản cập nhật sau 1 năm sử dụng, còn tỉ lệ này của phiên bản Pro là $50\%$ nên
$P(A\mid B)=0,3$ và $P(A\mid \bar{B})=0,5.$
Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất người được chọn mua bản cập nhật sau 1 năm sử dụng là
$P(A)=P(B)P(A\mid B)+P( \bar{B})P(A\mid \bar{B})=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,5=0,34.$
b) Xác suất người được chọn sử dụng phiên bản Basic ở năm đầu tiên, biết rằng người dùng đó mua bản cập nhật sau 1 năm sử dụng là
$P(B\mid A)=\frac{P(B)P(A\mid B)}{P(A)}=\frac{0,8\cdot 0,3}{0,34}=\frac{12}{17}\approx 0,706.$
Do tỉ lệ người sử dụng hai phiên bản Basic và Pro lần lượt là $80\%$ và $20\%$ nên
$P(B)=0,8$ và $P( \bar{B})=0,2.$
Qua kết quả điều tra, có $30\%$ người dùng phiên bản Basic sẽ mua bản cập nhật sau 1 năm sử dụng, còn tỉ lệ này của phiên bản Pro là $50\%$ nên
$P(A\mid B)=0,3$ và $P(A\mid \bar{B})=0,5.$
Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất người được chọn mua bản cập nhật sau 1 năm sử dụng là
$P(A)=P(B)P(A\mid B)+P( \bar{B})P(A\mid \bar{B})=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,5=0,34.$
b) Xác suất người được chọn sử dụng phiên bản Basic ở năm đầu tiên, biết rằng người dùng đó mua bản cập nhật sau 1 năm sử dụng là
$P(B\mid A)=\frac{P(B)P(A\mid B)}{P(A)}=\frac{0,8\cdot 0,3}{0,34}=\frac{12}{17}\approx 0,706.$