(CTST12) Ở một trại dưỡng lão, tỉ lệ người mắc bệnh tim mạch là $25\%$. Tỉ lệ người hút thuốc trong số những người mắc bệnh tim mạch gấp 2 lần tỉ lệ người hút thuốc trong số những người không mắc bệnh tim mạch. Tính xác suất một người ở trại dưỡng lão mắc bệnh tim mạch, biết rằng người đó hút thuốc.

Question

Trong các bài tập dưới đây, nếu không nói gì thêm thì làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn. (CTST12) Ở một trại dưỡng lão, tỉ lệ người mắc bệnh tim mạch là $25\%$. Tỉ lệ người hút thuốc trong số những người mắc bệnh tim mạch gấp 2 lần tỉ lệ người hút thuốc trong số những người không mắc bệnh tim mạch. Tính xác suất một người ở trại dưỡng lão mắc bệnh tim mạch, biết rằng người đó hút thuốc.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố "Một người ở trại dưỡng lão mắc bệnh tim mạch" và $B$ là biến cố "Một người ở trại dưỡng lão hút thuốc". Do ở trại dưỡng lão đó, tỉ lệ người mắc bệnh tim mạch là $25\%$ nên $P(A)=0,25$ và $P( \bar{A})=1-0,25=0,75.$ Gọi tỉ lệ người hút thuốc trong số những người không mắc bệnh tim mạch là $a$ $(0<a\leq \frac{1}{2})$. Do tỉ lệ người hút thuốc trong số những người mắc bệnh tim mạch gấp 2 lần tỉ lệ người hút thuốc trong số những người không mắc bệnh tim mạch nên $P(B\mid \bar{A})=a$ và $P(B\mid A)=2a$. Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất một người ở trại dưỡng lão hút thuốc là $P(B)=P(A)P(B\mid A)+P( \bar{A})P(B\mid \bar{A})=0,25\cdot 2a+0,75\cdot a=1,25a.$ Theo công thức Bayes, xác suất một người ở trại dưỡng lão mắc bệnh tim mạch, biết rằng người đó hút thuốc là $P(A\mid B)=\frac{P(A)P(B\mid A)}{P(B)}=\frac{0,25\cdot 2a}{1,25a}=0,4.$

Bài tự luận Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes · Bài 19