Bài tự luận · Bài 20
Trong các bài tập dưới đây, nếu không nói gì thêm thì làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn.
Bài tự luận Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes · Bài 20
(CTST12) Khảo sát ở một trường đại học có $35\%$ số máy tính sử dụng hệ điều hành X. Tỉ lệ máy tính bị nhiễm virus trong số các máy dùng hệ điều hành X gấp 4 lần tỉ lệ máy tính bị nhiễm virus trong số các máy không dùng hệ điều hành X. Tính xác suất một máy tính sử dụng hệ điều hành X, biết rằng máy tính đó bị nhiễm virus.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $A$ là biến cố "Một máy tính sử dụng hệ điều hành X " và $B$ là biến cố "Một máy tính bị nhiễm virus".
Do ở trường đại học đó có $35\%$ số máy tính sử dụng hệ điều hành X nên
$P(A)=0,35$ và $P( \bar{A})=1-0,35=0,65.$
Gọi tỉ lệ máy tính bị nhiễm virus trong số các máy không dùng hệ điều hành X là $a\,(0<a\leq \frac{1}{4})$. Do tỉ lệ máy tính bị nhiễm virus trong số các máy dùng hệ điều hành X gấp 4 lần tỉ lệ máy tính bị nhiễm virus trong số các máy không dùng hệ điều hành X nên
$P(B\mid \bar{A})=a$ và $P(B\mid A)=4a.$
Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất một máy tính tại trường đại học đó bị nhiễm virus là
$P(B)=P(A)P(B\mid A)+P( \bar{A})P(B\mid \bar{A})=0,35\cdot 4a+0,65\cdot a=2,05a.$
Theo công thức Bayes, xác suất một máy tính sử dụng hệ điều hành X, biết rằng máy tính đó bị nhiễm virus là
$P(A\mid B)=\frac{P(A)P(B\mid A)}{P(B)}=\frac{0,35\cdot 4a}{2,05a}=\frac{28}{41}\approx 0,683.$
Do ở trường đại học đó có $35\%$ số máy tính sử dụng hệ điều hành X nên
$P(A)=0,35$ và $P( \bar{A})=1-0,35=0,65.$
Gọi tỉ lệ máy tính bị nhiễm virus trong số các máy không dùng hệ điều hành X là $a\,(0<a\leq \frac{1}{4})$. Do tỉ lệ máy tính bị nhiễm virus trong số các máy dùng hệ điều hành X gấp 4 lần tỉ lệ máy tính bị nhiễm virus trong số các máy không dùng hệ điều hành X nên
$P(B\mid \bar{A})=a$ và $P(B\mid A)=4a.$
Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất một máy tính tại trường đại học đó bị nhiễm virus là
$P(B)=P(A)P(B\mid A)+P( \bar{A})P(B\mid \bar{A})=0,35\cdot 4a+0,65\cdot a=2,05a.$
Theo công thức Bayes, xác suất một máy tính sử dụng hệ điều hành X, biết rằng máy tính đó bị nhiễm virus là
$P(A\mid B)=\frac{P(A)P(B\mid A)}{P(B)}=\frac{0,35\cdot 4a}{2,05a}=\frac{28}{41}\approx 0,683.$